直角三角形的性质与判定教学设计

课题

课型

新授课

【知识与技能】

1.2

直角三角形（一）

课时

第一课时

1.

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能运用定理解决与直角三角形有关的问题

2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立. 教学目标

【过程与方法】

进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维

【情感态度】

体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.

教学重点

教学难点

教学方法

教具

掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法.

运用定理解决与直角三角形有关的问题

探究式

多媒体

教

学

过

程

教学程序及内容

学生活动设计

一.情景导入，初步认知

我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？

【教学说明】回顾旧知，也为后续探索提供了铺垫. 二.思考探究，获取新知

探究1：直角三角形的性质和判定

直角三角形的两个锐角有什么关系？为什么？

如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是什么三角形？为什么？

【教学说明】让学生在解决问题的同时，总结直角三角形的一般性质. 【归纳结论】①直角三角形的两个锐角互余；②有两个角互余的三角形是直角三角形. 探究2：勾股定理及其逆定理. 教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗? 【教学说明】教师引导学生思考，写出证明过程. 【归纳结论】勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

探究3：互逆命题和互逆定理. 观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗? 上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．

在前面的学习中还有类似的命题吗? 【教学说明】教师应注意给予适度的引导，学生若出现语言上不严谨时，要先让这个疑问交给学生来剖析，然后再总结. 【归纳结论】在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别

学生积极思考，与同伴交流.回答问题。

学生分组交流讨论，归纳总结直角三角形的性质。

学生回顾上学期第一章学过的勾股定理探索过程，考虑能否用公理及由其推导出的定理，证明勾股定理呢?

是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命

题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，

那么我们称它们为互逆定理.

三.运用新知，深化理解

1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:

（1）四边形是多边形；

（2）两直线平行，同旁内角互补；

（3）如果ab＝0，那么a＝0， b＝0.

【分析】互逆命题和互逆定理的概念，学生接受起来应

不会有什么困难，尤其是对以“如果……那么……”形式给

分组讨论，尝试写出习题的出的命题，写出其逆命题较为容易，但对于那些不是以这种逆命题，并判断其真假。正形式给出的命题，叙述其逆命题有一定困难．可先分析命题确的命题给出严格的推理证明，假命题只需要举出反的条件和结论，然后写出逆命题．

例。

解：（1）多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命

题是假命题．

（2）同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同

为真．

（3）如果a＝0，b＝0，那么ab＝0．原命题是假命题，

而逆命题是真命题．

2.如图，BA⊥DA于A，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求

证：BA∥DC. 分组讨论，个别学生板演规范书写过程。其余学生点评。

证明：在△ADC中，AD = 12，DC = 9，CA = 15.

222∵AD+DC=CA,

∴△ADC是直角三角形.（如果三角形两边的平方和等

于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）

∴AD⊥CD, ∵BA⊥DA, ∴BA∥DC. 3.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？

解：当CD⊥AB时，CD最短，造价最低. ∵∠ACB＝90°，AC＝80，BC＝60，

∴AB=100. 设AD=x,则BD=100-x. ∵在Rt△ADC与Rt△BDC中, ∴CD2=AC2-AD2,CD2=BC2-BD2. ∴AC2-AD2=BC2-BD2. ∴802-x2=602-（100-x）2. 解得：x=64. ∴在Rt△ADC中，CD=48. ∴最低造价是：48×10=480（元）. 你还能用其他方法求出CD的长吗？

（提示：用面积法）

四.师生互动，课堂小结

这节课我们了解了勾股定理及逆定理的证明方法，并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立，掌握了证明方法，进一步提高了演绎推理的能力．

学生积极思考，分组讨论研究能用所学的直角三角形的性质定理及判定定理解决相关的实际问题。

学生整体回顾本节课学过的知识点，自己都掌握了哪些，理解了哪些，是否能应用其解决相关的问题。

板书设计

1.2

直角三角形（一）

一、直角三角形的性质及判定：

二、例题精讲

①直角三角形的两个锐角互余；

②有两个角互余的三角形是直角三角形.

二、命题与逆命题

三、练习提高

定理与逆定理

作业：

教材“习题1.5”中第2、3题.