阅读与思考 推测滑行距离与滑行时间的关系优质课教学设计

专题：二次函数与相似三角形结合问题

教学设计

知识与技能目标：

1.能通过对实际问题的分析确定二次函数的表达式；

2.能运用相似三角形的知识解决二次函数中的综合问题。

过程与方法目标：

教学

通过二次函数背景下的相似三角形的探究学习，能体会、掌握如数形结合、分目标

类讨论等基本的数学思想。

情感价值与态度目标：

通过学生之间的讨论、交流和探究，培养团体协作和个体探究能力，从而激发学习的兴趣与动力。

2015年中考考纲要求

通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并理解二次函数的意义. 会用描点法画出二次函数的图象，能从图像上认识二次函数的性质

二次 会应用配方法或公式法去顶图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的函数

实际问题。

会利用二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质. 近年广州市中考内容

二次函数与相似三角形、最值

题号

年份

24 高频考点分析

二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各2014

类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，是近几年大考热点之一.

教学在二次函数背景下与相似三角形结合的综合应用

难点

二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、用教材二次函数模型解决生活实际问题。其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）分析

值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。近年来的很多地区的中考试题中都出现了多类以二次函数为主题的内容。

学情 学生已完成了第一轮复习，本节课程设计是在学生较好对二次函数知识有良好认分析

知基础上，对学生应用二次函数解决综合性问题的能力进行全面提升。

教学环节

讲

评

预

习

案

教学内容

1.抛物线y=-x+2x-3的开口方向

向下 ，顶点坐标 (-1,2) ,对称轴是

直线x=1 ，当x= 1 时，y有最

大 值.

2.（2012•广州•24）抛物线2教师活动

学生活动

设计意图

复习本节所需相关知识点以及基础知识，通过学习考纲和近年中考y=-323x-x+3与x轴交于A、B两点841

讲

评

预

习

案

( 8 分

钟

）

y

求点A、B的坐标.

教师讲x

解、板

演．展示

中考考

纲要求，点评预3.RtVABC中，CD是斜边AB上的CBD:VABC. 习案的(1)VACD:VABC；(2)V

复习内

容. （点A在点B的左侧），与y轴交于点C.4.（2011•广州•24）已知关于x的二次函数y=ax+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）

（1）求c的值；

（2）求a的取值范围；

5.(2013年河北二模)如图，已知抛物线y＝32x＋bx＋c4

2

学生纠错，自学中考考纲和今年中考的相关内容．

内容激发学习兴趣．

yQHP与坐标轴交于AOBxA、B、C三点，A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝C3x－3与x轴交于点Q．求：点C4t的坐标及b、c的值。

2

教教师点拨、巡视、批改、轴交于O、A两点，点P在抛物线上，提问、点?APO90，求P点坐标。

评．

y

此类

问题常常x

涉及待定

系数法求解：令y=0，

二次函125数、一次x=0，

则x-函数的解22解得：

析式，矩形的性x1=0,x2=5，

质，相似三角形的\A(5,0)

判定和性

过点P作PE^x轴，垂足为E点

质，直角三角形、?AOP行APE,OEP=?AEP90

等腰三角VPOE:VAEP

形的判定.

OEPE

\=，

分层分PEAE析：

125设点Pm,mmm0且m5

2(1)如何求2

例

如图，已知抛物线y125xx与x22

学生独立思考，互相教流．

自

主

探

究

( 15 分

钟

通过学生自主、合作、探究，培养学生解决问题的意识和能力．通过练习，师生小结，及时反馈学生理解情况。

125mmm225m

得1m25m22化简整理得：

点的坐标？

(2)如何解决图中线段长的问题？

骣125÷çm-m÷=m(5-m)çç，

桫22÷

得

m=1或m=4

\P(1,-2)或P(4,-2)

【总结】利用垂直的性质推出相似三角形。在相似三角形的条件下，要充分利用对应边成比例的性质，并注意待定系数法的运算。

3

2

自

主

探

究

( 20 分

钟

）

引入：当对应边对应角条件不明确的时候，要分类讨论，不要漏解。

变式1：(2013年•河北二模•24)如图，已知32抛物线y＝x＋bx＋c与坐标轴交于A、4B、C三点，A点的坐标为（－1，0），过3点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P4t是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

（1）

填空：点C的坐标是 ，b＝ ，c＝ ；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

解：（1）C（0，－3），b＝－（2）由（1），得y＝9，c＝－3 4C

yQHPAOBx329x－x－3，它与x44轴交于A，B两点，得B（4，0）．…4分

∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．

由题意，得△BHP∽△BOC，

∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，

∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．

∴OH＝OB－HB＝4－4t．

3由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q4t（4t，0）．

∴OQ＝4t．

①当H在Q、B之间时，

QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t．

②当H在O、Q之间时，

QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4．

综合①，②得QH＝｜4－8t｜；

4

教师巡视、批改、点评，第(3)小问计算难度较大，留充足时间给予学生

分层分析：

(1)如何求线段的长度？

(2)三角形相似有哪些性质？对应的条件固定了吗？如果没有，需要怎样思考？

投影学生书写过程。

学生独立观察、思考，与同伴交流．

通过多媒体课件和实物的演示有利于学生理解三视图与实物的关系，进一步培养学生空间想象能力，发展学生的空间观念．

自

主

探

究

（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．

①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，

若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，48t3t得＝，

34t7∴t＝．

32若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，3t4-8t得＝，

34t2即t＋2t－1＝0．

∴t1＝2－1，t2＝－2－1（舍去）．

②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．

若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，8t-43t得＝，

34t25∴t＝．

32若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，3t8t-4得＝，

34t2即t－2t＋1＝0．

∴t1＝t2＝1（舍去）．

7综上所述，存在的值，t1＝2－1，t2＝，32教师引导学生分析解决，与学生共同点评．

学生先独立解决，然后与同伴交流．

学生结合展示的答案进行点评、自我评价．

在实际应用中加深对知识调课理解．通过要求学生板演草图、计算过程，培养解题习惯、训练解题技能，进一步培养空间想象能力和观察能力．

t3＝

师

生

共

同

小

结

( 2 分

钟

）

25．

32解代数综合题是时候，要注意以下几点：

1.审题要清晰，计算仔细，把大问题分解成小问题逐个击破；

2.会运用多种数学思想和方法，如化归思想、分类讨论思想、方程思想、数形结合思想以及配方法、待定系数法等等，因此，解题思路要思路要宽，考虑问题要全面。

教师补充学生总结完善，布发言

置作业．

梳理学习的内容、方法，形成知识体系．养成系统整理知识的习惯．加强教学反思，进一步提高教学效果．

5