等腰三角形的判定与反证法教案和学案内容

北师大版八年级下册

第一章 三角形的证明

第3课时

等腰三角形的判定与反证法

教学目标

1.知识与能力：探索等腰三角形的判定定理，理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明，了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。

2.过程与方法：经历等腰三角形的判定定理过程，证明并掌握等腰三角形的判定定理。

3.情感、态度与价值观：培养学生的逆向思维能力。

教学重点：掌握并应用等腰三角形的判定定理进行证明。

教学难点：利用反证法进行证明．

教学方法：合作讨论、点拨练习。

教学过程：

一、复习引入

问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？

等腰三角形的两底角相等(简写成

‘‘等边对等角”)． 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成

“三线合一”) 通过共同分析，复习等腰三角形的性质，强调等腰三角形“三线合一”是哪三线！

问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论分别是什么？

题设：如果一个三角形的两边相等

结论：那么相等的两边所对应的两角相等

我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？本节课我们就来研究一下吧！

二、新课学习

（一）等腰三角形的判定

1.情景：如图，位于海上B、C两处的两艘救

生接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

组织学生分析实际问题，抽象成为数学问题，提高学生的转化能力。

已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系? 通过对图形的认识，分析，总结方法：

证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D. 在△ABD与△ACD中，

∠1=∠2，∠B=∠C，AD=AD，

∴

△ABD ≌

△ACD（AAS）. ∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形. 我们还有其他的方法吗？做底边上的高可以吗？做底边的中线可以吗？鼓励学生发散思维。

等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”). 数学表示：在△ABC中，∵∠B=∠C, ∴AB=AC(等角对等边). 2.辨一辨：如图,下列推理正确吗?

通过具体实例，引导学生分析判定定理应用的前提条件是“在同一三角形中”这一特点。

例1：已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.

求证：△AED是等腰三角形. 证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA, ∴△ABD≌△DCA(SSS), ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）, ∴AE=DE(等角对等边）, ∴

△AED是等腰三角形. 例2: 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是 AB，AC上的点，且DE∥BC. 求证：△ADE为等腰三角形. 证明

：∵AB=AC，

∴

∠B=∠C.

又∵ DE∥BC，

∴

∠ADE=∠B，∠AED=∠C. ∴

∠ADE=∠AED. ∴△ADE为等腰三角形. （二）反证法

1.想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC. 小明是这样想的: 如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时, AB与AC要么相等,要么不相等.假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C, 但已知条件是

∠B≠∠C. “∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC. 你能理解他的推理过程吗?通过实例学习，发现反证法的特点及证明基本过程，提高学生的学习能力。

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 2.用反证法证题的一般步骤

1. 假设: 先假设命题的结论不成立;

2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果; 3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 例3：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC．

求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．

【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A,∠B,∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．

证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则

∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．

这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．

所以一个三角形中不能有两个角是直角．

（三）随堂练习

1.已知:如图,∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°, ①∠1= , ∠2= ；

②图中有 个等腰三角形；

③如果AD=4cm，则 ④如果过点D作DE∥BC, 交AB于点E,则图中有 个等腰三角形. 2. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和

∠ACB的平分线相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形. 3.求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平行直

线中的一条相交,那么和另一条也相交. 三、课堂小结

1.等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形

2.反证法：先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立. 3．反证法的步骤：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．

四、作业布置：