直角三角形的性质与判定ppt课件课堂实录

直角三角形的性质和判定教学设计

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教学目标、重点及难点

1.1

教学目标

（1）理解直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）；会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形．

（2）引导生通过画图、观察、猜想去经历探索勾股定理逆定理的过程，发展合情推理的能力．

（3）感受用构造法证明勾股定理逆定理的过程，了解定理相关的数学史，给同学以文化熏陶和美感．

1.2

教学重点与难点

（1）教学重点：直角三角形的判定．

（2）教学难点：经历尝试——观察——归纳——总结——证明的探索过程，培养生学习数学的习惯和能力．

1.3

教学准备

利用幻灯片制作的教学课件．

2

教学过程

（一）

问题情境

情境1：普林顿322——神秘的数组

师：美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿“322” （plinmpton322）的古巴比伦泥板．放在美国哥伦比亚图书馆。

普林顿322是一个叫普林顿的人收藏家收藏而得名(“322”是普林顿的收藏编号)，古巴比伦与中国、古埃及、古印度一并称为“四大文明古国”．

普林顿322是一块较大泥版文书的右半部分，其左半部分是在出土后丢失的．现存的半部长12．7厘米，宽8．8厘米，上面记载的文字属古巴比伦语，可推测所属年代在公元前1600年以前．

师：经过考证，这些密密麻麻的文字，实际上是三列数组，右半部分两列，经过考古拼补出左列，如图2．

问题1 你知道古巴比伦泥板上的这组神秘的数组有什么奥秘吗？（带着问题、悬念）

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情境2：据说几千年前，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根绳子打上等距离的13个结，即平均分成12段；然后把第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再分别用木桩把第４个结和第８个结钉牢（拉直绳子）各钉上一个钉子．如图18-6，

问题2：这是一个什么样的数学模型？

用长度为3，4，5三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形

三边3，4，5（单位cm），最长边5cm所对的角是直角．你相信吗？

（二）引导操作，感知结论

师：好，今天我们将沿着古人的足迹，继续我们的探索之路，古人用了绳子这一生活实物，今天的数学课堂上我们将借助于直尺、圆规等数学工具开展探究．

实验探究（分组画图）：

（1）用圆规、直尺画一个三角形，使得三边长度分别为AB= 5cm，BC=3cm，AC=4cm，如图18-7，量一量角C，它是90°？

（2）用圆规、直尺画一个三角形，使得三边长度分别为5cm、12cm、13cm，它是直角三角形吗？

设计意图：让生沿着古人的足迹，从画图开始，通过两组具体数据的实际操作，初步感知直观结论：如果△ABC的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

问题2：从上面两个三角形边和角的特点，你能到什么结论？

（三）严格证明，总结定理

师：要判断一个命题是正确的，靠两三个实例能否确认？

必须经过严格的证明．

师：太棒了，让我们一起开始证明之旅．

师生共同画出图形，写出

已知：△ABC中，AC2+BC2=AB2，

求证：∠C=90°．

（学生无法入手）

师：解决几何问题，我们往往从目标出发，目标是什么？

原来是如何证明一个角是直角？

生：证明一个三角形的两角之后为90°。

教师板书：证明直角的方法1：（上）

师：再从已知条件入手，从已知的AC2+BC2=AB2你能想到什么呢？

生：我想到了勾股定理．

师：勾股定理的内容是什么呢？

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B C A

生：已知△ABC是直角三角形，我们可以得到AC2+BC2=AB2．

师：那现在已知条件中△ABC是直角三角形吗？

生：不是，是要我们证明直角三角形．

师：那就是说为了要用已知条件，我们最好有一个直角三角形，而这个直角恰好又是求证中的结论，已知和求证都指向了同一个集中点，是——直角

师：题目中有直角吗？

生：没有．

师：

那怎么办呢?当你迫切需要某样东西而你暂时又没有，你会怎么办呢? 生: 买一个．教师：你准备去哪儿买呢？

生：画一个就好了．

师：好，听你的．作∠D=90°，直角有了，接下来你准备做什么呢？

生：想办法使用已知条件AC2+BC2=AB2．

师：能用吗？

生：不能用．

师：怎么办呢？

生：我们可以想办法把上图⊿ABC中的AC2+BC2=AB2搬到下面的图中来．

师：怎么搬呢？

生：用圆规截取．（生上黑板操作）过点D截取DE=AC，DF=BC，EF=AB．

生2：不对，截取完DE=AC，DF=BC之后EF就已经产生了，不用再截取了．只需连结EF．

教师：好极了！现在出现在我们眼前的图形让你想到了什么？

生：全等三角形．

师：请你说出证明全等需要的条件．

生：DE=AC，DF=BC．

师：够了吗？

生：还有EF=AB．

师：你怎么得到EF=AB的呢？

生：∵AC2+BC2=AB2，DE2+DF2=EF2，且DE=AC，DF=BC，∴EF=AB．

师：好，全等需要的条件都准备好了，向我们的目标前进．

生：∵△ABC≌△EFD，∴∠C=∠D=90°．

师：好，大功告成，我们终于通过自己的努力证明了这个命题是正确的，因此它也可以成为一条定理，由于它和勾股定理之间的特殊关系（条件、结论对调下），我们称它为“勾股定理的逆定理”

．

板书证明过程：作∠D=90°，截取DE=AC，DF=BC，连接EF。

在Rt△EFD中，EF2 =DE2+DF2= AC2+BC2

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B C A F D E

∵AC2+BC2=AB2，∴

EF2

=AB2，

EF=AB．

∴△ABC≌△EFD，∴∠C=∠D=90°．

勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

（由“数”的特点——得“形”特殊性）

（其作用是什么？直角三角形的判定定理）

小结：证明直角的方法

方法1：（角）两个角之和为90°，第三个角必为90°；

方法2：（边）勾股定理的逆定理．三边关系．

（四）经典例题，强化重点

例1. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形? 如果是，那么哪一个角是直角？

(1) a=7，b=24，c=25 ；

(2) （2）a=15，b=17，c=9 （9改8呢？）

板书：因为a2+b2=49+576=625，c2=625，故a2+b2= c2

(强调：a,b为两条较短边的长) 练习：判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？

（1）

a= 6, b=8, c= 10

（2）a=2.5，b=1.5，c=2

（3）a:b:c=5:12:13 （设5x(x>0,）

解题后反思：

三边之比为3:4:5，或5：12：13，这样的数很多，给个名称，便于识别。

定义勾股数：满足a2＋b2＝c2的3个正整数a，b，c称为勾股数

。

上述4个题有哪些勾股数？

普林顿322——揭开神秘的面纱（链接软件）

1192 +1202

？

1692

；48002 +46012

？

48252

902 +562

？

1062

——勾股定理逆定理的模板

例2. 已知：在△ABC中，三条边长分别为a= n2－1，b= n2+1，c=2n（n>1）．求证：△ABC为直角三角形．

变式：已知△ABC的三条边长分别是a、b、c，如果

a=m2－n2，b=m2+n2，c=2mn（m、n为正整数，且m>n)，那么该三角形是否为直角三角形？请说明理由．

（五）拓展延伸，提高能力——思维能力

拓展：如图1，四边形ABCD中，∠A=90°.已知AD=3，AB=4，CD=12，BC=13，求四边形ABCD的面积．

变式：如图2，四边形ABCD变成凹四边形，其余条件不变，求四边形ABCD的面积．

A D D A B C B C （六）归纳小结，形成体

师：通过这节课的学习，在知识层面上，你有哪些收获？在研究问题的方法上，你有哪些认识？

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：a2＋b2＝c2，那么这4

个三角形是直角三角形．

（2）证明直角三角形的方法：

两角之和为90°；勾股定理的逆定理。

（3）研究问题的常用思路：

实验——猜测——证明——抽象（规律）

——从特殊到一般。

（4）证明勾股定理逆定理的关键是？画直角——构造思想，体现创新（体会）

作业：（略）

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