1.4.3 含有一个量词的命题的否定教学实录与评析

1.4.3含有一个量词的命题的否定 教材分析

“含有一个量词的命题的否定”是数学选修1-1第一章第四节的内容，第一课时的主要内容是全称量词与存在量词的概念．第二课时主要是含有一个量词的命题的否定．它包括两块内容：其一是含有一个全称量词的命题的否定，其二是含有一个存在量词的命题的否定.教科书在分析“探究”中全称命题和特称命题时，并没有直接给出这些命题的否定的最终表述形式，而是根据全称量词和存在量词的含义，直接对原先的命题进行全盘否定，得到这些命题的否定的一种表述形式.需要强调的是，这些表述过于形式化，不自然也不符合日常语言表达的习惯，多以最后进一步将这些表述改写成常用的表述形式.为此，教科书在“探究”后的分析中，先后用了六个“也就是说”.这样处理一方面让学生体会如何用间接、自然的语言表达数学内容；另一方面，通过这些命题的否定的最终表述，学生很容易观察出原先的命题和它们的否定在形式上的变化，从而降低了学生的认知难度. 课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解含有一个全称量词的命题的否定和含有一个存在量词的命题的否定．

教学目标

重 点：全称量词与存在量词命题间的转化；

难 点：正确地对含有一个量词的命题进行否定；

知识点：（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．

（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．

能力点：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．

教育点：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

自主探究点：含有一个量词的命题的否定形式；

考试点：含有一个量词的命题的否定以及判断命题的真假；

易错易混点：隐蔽性否定命题的确定；

教具准备 投影仪，多媒体课件等

课堂模式 学案导学、三段六部教学模式

一、引入新课：

数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题.在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，pq,pq都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在. 【设计意图】创设问题情境，激发兴趣, 增强学生的求知欲望．

二、探究新知: 问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定. （1）所有的矩形都是平行四边形；

[来源:学.科.网]

（2）每一个素数都是奇数；

2（3）xR，x-2x+1≥0 分析：（1）xM,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；xM,p(x)

（2）xM,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；xM,p(x)

2（3）xM,p(x)，否定：xR，x-2x+1<0；xM,p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 师生探究

问题2：：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定. (1)有些实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3) ∃x0∈R, x0²+1<0.

分析：（1）xM,p(x)否定：所有实数的绝对值都不是是正数;；xM,p(x)，

（2）xM,p(x)，否定：每一个平行四边形都不是菱形;xM,p(x)，

（3）xM,p(x)，否定：∀x∈R, x²+1≥0；xM,p(x)，

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

结论：从命题形式上看，这三个特陈命题的否定都变成了全称命题.

【设计意图】引导学生分析实例，让学生从事例中抽象出数学知识，得出本节课所要学习的含有量词的命题的否定．

三、理解新知：

1.全称命题、存在性命题的否定

一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题┓P为：x∈M,使P（x）不成立.存在性命题P：xM，使P（x）成立；其否定命题┓P为： xM,有P（x）不成立. 用符号语言表示：

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

P:M, p(x）否定为 P: M,  P（x）

在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定.即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.

2.关键量词的否定

词语

词语的否定

词语

是

一定是

都是

大于

小于

且

不是

一定不是

不都是

至多有一个

小于或等于

大于或等于

所有x不成立

或

必有一个

至少有n个

所有x成立

词语的否一个也没至多有n-1至少有两存在一个x不存在有一个定

有

个

个

成立

成立

【设计意图】让学生从理论上掌握含有一个量词的命题的否定形式，并且学会写出含有量词的命题的否定的基本依据．

四、运用新知：

例1 :写出下列全称命题的否定,并判断其真假：

（1）p：∀x∈ R, x²-x+¼≥0; （2）q：所有的正方形都是矩形. 解析:（1）ㄱp：

∃ x0 ∈R, x²-x+¼<0;

（2）

ㄱq：至少存在一个正方形不是矩形; 例2 :写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数; （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆; （3）p：对任意x0∈Z, x0²的个位数字不等于3 解析:（1）ㄱp：存在一个能被3整除的整数不是奇数

（2）ㄱp：存在一个四边形,它的四个顶点不共圆

（3）ㄱp：

∃x0∈Z, x0²的个位数字等于3. 例3 :写出下列特称命题的否定：

（1）p：

∃x0∈R, x0²+2x0+2≤0; （2）p：有的三角形是等边三角形; （3）p：有一个素数含三个正因数. 解析:（1）ㄱp：

∀x0∈R, x0²+2x0+2>0; （2）ㄱp：所有的三角形都不是等边三角形; （3）ㄱp：每一个素数都不含三个正因数. 例4 :写出下列命题的否定,并判断其真假：

（1）q：至少有一个实数x,使x³+1=0

（2）r：任意两个等边三角形都是相似的; （3）s：∃x0∈R, x0²+2x0+2=0. 3解析：（1）ㄱq：

∀x∈R, x+1≠0. （2）ㄱr：

存在两个等边三角形,它们不相似; （3）ㄱs：

∀x∈R, x²+2x+2≠0. 【设计意图】命题的否定与否命题是完全不同的概念.其理由：

1．任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的. 2．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命

题可能是同真同假，也可能是一真一假. 3．

原命题“若P则q” 的形式，它的非命题“若p，则q”；而它的否命题为

“若┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论. 随堂练习：

五、课堂小结：

教师提问：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？

学生作答：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

教师总结: 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题P：

xM,p(x)

它的否定￢P xM,p(x)

特称命题P：

xM,p(x)

它的否定￢P：

x∈M，￢P(x) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定时既要否定量词，又要否定性质，所以找出量词，明确命题所提供的性质是解题的关键.

【设计意图】归纳整理本节课所学知识．

六、布置作业：

1．

阅读课本P24—P25；

2．

必做题：课本26页

习题1.4 A组

第3题．

3．选做题：课本27页

习题1.4 B组（1）（2）（3）（4）．

【设计意图】设计作业必做题1，2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了让学生掌握含有量词的命题的否定怎么去写；选做题的安排，是让学生进一步熟悉含有量词的命题的否定形式，以及如何去判断真假，巩固所学知识．

七、教后反思: 在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力.

来源

八、板书设计: 1．4．3

含有一个量词的命题的否定

1.

全称命题、存在性命题的否定．

P:M, p(x）否定为

P: M, 

P（x）

P:M, p(x）否定为

P: M, 

P（x）

2.

关键量词的否定

例1

例2

例3

例4

小结：