探究与发现 为什么y=±b／a x是双曲线x2／a2 －y2／b2 =1的渐近线优秀教学实录

教学目标：

1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程. 2. 使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、

数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力. 3. 通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统

一的思想.

教学重点与难点

双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点. 定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点. 教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法

教学用具：CAI课件、

演示教具

课时安排：

一课时 教学过程：

一、课题导入

师：椭圆的定义是什么? (学生口述椭圆的定义，教师利用CAI课件把椭圆的定义和图象放出来.) 师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)（2a>｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验：

（同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题）

师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”（板书课题）

二、定义探究

师：我们知道满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)的动点P的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P满足什么几何条件的轨迹呢？

（引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：

｜PF1｜-｜PF2｜=2a或｜PF2｜-｜PF1｜=2a）

师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下. (播放双曲线flash生成动画，验证几何条件) 师：实验证明当点P满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果

｜PF1｜＞｜PF2｜,则得到曲线的右支，如果｜PF2｜＞｜PF1｜则得到曲线的左支，

能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？

三、方程推导

师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？

（学生口述教师板书椭圆的标准方程）

师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程. (学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程) 建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P(x、y),｜F1F2｜=2c，并设F1(-c,0),F2(c,0).

由两点间距离公式，得

2222｜PF1｜=(xc)y,｜PF2｜=(xc)y

由双曲线定义，得

｜PF1｜-｜PF2｜=±2a 即

(xc)2y2-(xc)2y2=±2a 化简方程

(xc)2y2=±2a+(xc)2y2

两边平方，得

2222222(x+c)+y=4a±4a(xc)y+(x-c)+y

化简得：

222cx-a=±(xc)y

两边再平方，整理得

22222222(c-a)x-ay=a (c-a)

(为使方程简化，更为对称和谐起见)

22由2c-2a＞0，即c＞a，所以c-a＞0

222设c-a=b (b＞0)，代入上式，得

222222 bx-ay=ab

也就是

2222x/a-y/b=1

师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中a＞0，b＞0的条件是不可缺少的.b的选取不仅使方222222程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义.具有c=a+b，区别其与椭圆中a=b+c的不同之处.

（师生共析：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相

应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点”）

四、巩固内化

例：已知两定点F15,0,F2(5,0)，求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。

变式：（1）若两定点为F10,5,F2(0,5)则轨迹方程如何？

变式：（2）若两定点为F1F210则轨迹方程如何？

（例由师生共同分析共同完成，（1）、（2）由学生完成）

方法总结：求双曲线标准方程，先定位再定量.

五、课堂小结

（１）双曲线的定义及其标准方程

（２）把握方程中的3个常数a,b,c间的关系: c=a+b.

如何确定焦点位置,会求双曲线的标准方程

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六、课堂作业（略）

七、板书设计

课题：双曲线及其标准方程

1．复习回顾：

2．双曲线定义：

3．方程建立：

标准方程：

与椭圆比较表：

4．例题：

5．练习