3.1.3 导数的几何意义教学设计思路

3.1.3 导数的几何意义

1.理解导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程.(重点) 2.理解导函数的概念、会求导函数.(重点) 3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别.(难点、易混点)

[基础·初探] 教材整理1 导数的几何意义

阅读教材P76导数的几何意义～P77例2以上部分，完成下列问题. 导数的几何意义

1.设点P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝lim

xn→x0＝f′(x0). 2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点.(

) (2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点.(

) (3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线.(

) 【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

教材整理2 导函数的概念

阅读教材P79导函数部分，完成下列问题. 导函数的概念

fxn－fx0xn－x0第

1 页

共

9 页

从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数，即f′(x)＝y′＝lim

Δx→0fx＋Δx－fx. Δx

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的.(

) (2)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同.(

) (3)函数f(x)＝0没有导函数.(

) 【答案】

(1)√

(2)×

(3)×

[小组合作型]

导数几何意义的应用

如图3-1-3，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的(

)

图3-1-3

【自主解答】

函数的定义域为(0，＋∞)，

当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；

当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；

当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线.故选D.

第

2 页

共

9 页

【答案】

D

函数在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数升降的快慢.因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其切线来了解函数的性质.

[再练一题] 1.函数y＝f(x)的图象如图3-1-4所示，根据图象比较曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2附近的变化情况.

图3-1-4 【解】

当x＝x1时，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线l1的斜率f′(x1)＞0，因此在x＝x1附近曲线呈上升趋势，即函数y＝f(x)在x＝x1附近单调递增.

同理，函数y＝f(x)在x＝x2附近单调递增，

但是，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这表明曲线y＝f(x)在x＝x1附近比在x＝x2附近上升得缓慢.

求切点坐标

过曲线y＝x2上哪一点的切线满足下列条件？

(1)平行于直线y＝4x－5；

(2)垂直于直线2x－6x＋5＝0；

(3)倾斜角为135°. 【精彩点拨】

本题考查曲线的切线的有关问题.解题的关键是设出切点的坐标，求出切线的斜率.

【自主解答】

f′(x)＝lim

Δx→0fx＋Δx－fx

Δxx＋Δx2－x2＝lim

＝2x，

ΔxΔx→0设P(x0，y0)是满足条件的点.

第

3 页

共

9 页

(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，

∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点.

(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，

139∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，

32439即P－2，4是满足条件的点.

(3)∵切线的倾斜角为135°，∴其斜率为－1.

11即2x0＝－1，得x0＝－2，y0＝4，

11即P－2，4是满足条件的点. 

解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.

[再练一题] 2.已知曲线y＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值.

【解】

设切点P(x0，y0)，切线斜率为k.

[2x＋Δx2＋a]－2x2＋aΔy由y′＝lim

Δx＝lim

Δx→→Δx0Δx0＝lim

(4x＋2Δx)＝4x，

Δx→0得k＝y′|x＝x0＝4x0，

根据题意4x0＝8，x0＝2，

a＝－7，分别代入y＝2x＋a和y＝8x－15得y0＝8＋a＝1，得

y＝1.02

故所求切点为P(2,1)，a＝－7. [探究共研型]

求曲线的切线方程

第

4 页

共

9 页

探究1

曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？

【提示】

不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切.如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线. 探究2

怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？

【提示】

根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程. 探究3

曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？

【提示】

曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点. 11

(1)y＝－x在点2，－2处的切线方程是(

) A.y＝x－2 C.y＝4x－4 1B.y＝x－2

D.y＝4x－2 11ΔxΔy＋x＝，Δx＝x＋Δxxx＋Δx1【自主解答】

先求y＝－x的导数：Δy＝－1Δy11111，lim

Δx＝lim

＝x2，即y′＝x2，所以y＝－x在点2，－2处的xx＋ΔxΔx→0Δx→0xx＋Δx11切线斜率为k＝y′|x＝2＝4.所以切线方程是y＋2＝4x－2，即y＝4x－4.

【答案】

C (2)已知曲线C：y＝x3－x＋2，求曲线过点P(1,2)的切线方程.

3【自主解答】

设切点为(x0，x0－x0＋2)，则得y′|x＝x0

3[x0＋Δx3－x0＋Δx＋2]－x0－x0＋2＝lim

ΔxΔx→0第

5 页

共

9 页

2＝lim

((Δx)2＋3x0Δx＋3x20－1)＝3x0－1.

Δx→02所以切线方程为y－(x30－x0＋2)＝(3x0－1)(x－x0).

将点P(1,2)代入得：

22－(x30－x0＋2)＝(3x0－1)(1－x0)，

1即(x0－1)(2x0＋1)＝0，所以x0＝1或x0＝－2，

2119所以切点坐标为(1,2)或－2，8，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y－2＝2(x－1)，

即y＝2x，

1911119－，当切点为28时，切线方程为y－8＝－4x＋2，

即x＋4y－9＝0，所以切线方程为y＝2x或x＋4y－9＝0.

利用导数的几何意义求切线方程的方法

1.若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).

2.若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.

[再练一题] b3.(1)已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则a＝________. a1＋Δx2＋b－a－b【解析】

lim

＝lim

(a·Δx＋2a)＝2a＝2，

Δx→→Δx0Δx0b∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，即a＝2.

【答案】

2 2(2)求曲线y＝f(x)＝x在点(－2，－1)处的切线方程. 2【解】

因为y＝x，

第

6 页

共

9 页

22－xx＋Δxfx＋Δx－fx所以y′＝lim

＝lim

ΔxΔx

Δx→0Δx→0－2·Δxxx＋Δx2＝lim

＝－2，

Δxx→Δx021因此曲线f(x)在点(－2，－1)处的切线的斜率k＝－＝－2.

－221由点斜式可得切线方程为y＋1＝－2(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.

1.如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(

) A.f′(x0)＞0 C.f′(x0)＝0 B.f′(x0)＜0 D.f′(x0)不存在

1【解析】

由x＋2y－3＝0知，斜率k＝－2，

1∴f′(x0)＝－2＜0.

【答案】

B 2.已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于(

) A.2 C.6＋6Δx＋2(Δx)2

B.4 D.6 332x＋Δx－2xΔy【解析】

∵y＝2x3，∴y′＝lim

Δx＝lim

ΔxΔx→0Δx→0Δx3＋3xΔx2＋3x2Δx＝2 lim

ΔxΔx→0＝2 lim

[(Δx)2＋3xΔx＋3x2]＝6x2.

Δx→0∴y′|x1

＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.

＝【答案】

D 3.已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________.

【解析】

设点P(x0,2x20＋4x0)，

第

7 页

共

9 页

则f′(x0)＝lim

Δx→0fx0＋Δx－fx0

Δx2Δx2＋4x0·Δx＋4Δx＝lim

＝4x0＋4，

ΔxΔx→0令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).

【答案】

(3,30) 4.曲线y＝x2－2x＋2在点(2,2)处的切线方程为________. 【解析】

Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx＋(Δx)2，

∴Δy＝2＋Δx.

ΔxΔx→0∴y′|x＝2＝lim

(2＋Δx)＝2.

∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2.

∴切线方程为y－2＝2(x－2)，

即2x－y－2＝0.

【答案】

2x－y－2＝0 f3－f15.函数f(x)的图象如图3-1-5所示，试根据函数图象判断0，f′(1)，f′(3)，2的大小关系.

图3-1-5 【解】

设x＝1，x＝3时对应曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，如图所示.

则f3－f1＝kAB，f′(3)＝kBQ，f′(1)＝kAT，由图可知切线BQ的倾斜角小于直3－1线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，即kBQ＜kAB＜kAT，

第

8 页

共

9 页

∴0＜f′(3)＜f3－f1＜f′(1).

2

第

9 页

共

9 页