1.2.1 充要条件教学设计及教案分析

1.2.1充要条件教学设计(第1课时) 广灵一中

王占梅

学法指导：

在数学中，形如“p是q的充要条件”的命题是相当普遍的．要证明命题的条件是充要条件，就是既要证明原命题，又要证明原命题的逆命题．证明原命题即证明命题条件的充分性，证明原命题的逆命题，即证明命题条件的必要性．在本节的学习中注意体验数学的等价转化思想，增强逻辑思维能力.

教学目标：

1．理解充要条件的意义．

2．会判断、证明充要条件．

教学重点与难点：

重点：充要条件的意义。

难点：充要条件的判断、应用。

教学方法：

精讲法

新课讲授

探究点一

充要条件的判断

问题1 已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，那么p是q的什么条件？q又是p的什么条件？

答案

∵p⇒q，且q⇒p，

∴p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件也是必要条件．

结论：一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.

此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

问题2 结合实例说说你对充要条件的理解．

22在必修5中，不等式a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时a2＋b2＝2ab，此时我们也可以说“a＝b”是“a2＋b2＝2ab”的充要条件，我们可以从以下三个方面理解充要条件：

(1)若p⇔q，则p、q互为充要条件；

(2)p是q的充要条件意味着“p成立，则q必成立，p不成立，则q必不成立．”

(3)“p是q的充要条件”也说成“p等价于q”“q当且仅当p”等．

例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；

(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.

解

在(1)(3)中，p⇔q，所以(1)(3)中p是q的充要条件．

在(2)中，q p，所以(2)中的p不是q的充要条件．

跟踪训练1 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(

)

A．ab＝0

B．ab>0

2222C．a＋b＝0

D．a＋b>0

(2)x>2的一个必要不充分条件是__________；x＋y>0的一个充分不必要条件是_______________________．

2(3)“函数y＝x－2x－a没有零点”的充要条件是_______．

探究点二

充要条件的证明

例2 已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q (p≠0且p≠1)，求证数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.

证明

充分性：当q＝－1时，a1＝p－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，

当n＝1时也成立．

∵p≠0且p≠1，代入有相邻两项商为常数q. 即数列{an}为等比数列．

必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．

∵p≠0且p≠1，代入有相邻两项商为常数q.∴q＝－1. 综上，数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.

22跟踪训练2 求证：方程x＋(2k－1)x＋k＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.

课堂练习:

1.设{an}是等比数列,则“a1

(

)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的

(

)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

课堂小结:

1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．

2．充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．

(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.

课后作业：见课本