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空间向量与立体几何复习与小结 ---宜城二中

吴志涛

一、教学目标：

1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；

2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。

二、重难点分析：

本课的主要内容有：空间向量及其运算和空间向量的应用两部分．

1、空间向量及其运算：

重点：向量的线性运算和数量积运算及其应用。

难点：空间向量的共线条件、共面条件和空间向量的分解定理。理解了这些定理就能很好地掌握向量的各种知识及其关系．

（1）空间向量的线性运算：重点：空间向量的运算和运算律；难点：应用向量解决立体几何中的问题．平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间内的平移，空间任意两个向量都是共面向量，因此空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似。

（2）空间向量基本定理：重点：空间向量共线和共面的条件，空间向量分解定理。

难点：对这些定理条件的理解与运用、空间向量分解定理的作图。

（3）两个向量的数量积：重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用。难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题。由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同。

（4）空间向量的直角坐标运算：重点：向量的坐标运算、夹角公式、距离公式、空间向量平行和垂直的条件。难点：向量坐标的确定、公式的应用。

2、空间向量的应用

重点：直线的方向向量与直线的向量方程；平面的法向量与平面的向量表示；直线与平面的夹角；二面角及其度量；距离，难点：利用平面的法向量求直线与平面的夹角以及二面角、点到平面的距离。

（1）直线的方向向量与直线的向量方程：重点：直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。难点：直线的方向向量，平面α的共

面向量的选取及其表示。

（2）直线与平面的夹角：

重点：斜线和平面所成的角（或夹角）的求法,二面角的求解。

难点：斜线与平面所成的角的求解，公式coscos1cos2的灵活运用。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、知识梳理

（一）、基本概念

1、共线向量定理：对于空间任意两个向量（b0），a//b的充要条件是存在实数，使ab．

2、共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x、y，使pxayb。 推论：空间一点位于平面MBA内的充分必要条件是存在有序实数对（x，y），使MAxMByMC．

对于空间任一定点O，有OPOMxMAyMB．对于空间任一定点O，P、M、A、B四点共面的充分必要条件是OPxOMyOAzOB，其中xyz1。

3、如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使pxaybzc，其中{a、b、c}叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量。

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使OPxOAyOBzOC。

4、空间向量的数量积：ababcosa,b

空间向量的数量积的性质：① aeacosa,e

③ aaaa ④ cosa,b22

② abab0

abab

空间向量的数量积的运算律：① (a)b(ab)（结合律）

② abba（交换律）

③ a(bc)abac（分配律）

5、向量的直角坐标运算：设a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)，则

aaaa1a2a3ab(a1b1,a2b2,a3b3)ab(a1b1,a2b2,a3b3)

a(a1,a2,a3)(R)aba1b1a2b2a3b3a//ba1b1,a2b2,a3b3aba1b1a2b2a3b30(R)

设A(x1,y1,z1)，则AB(x2x1,y2y1,z2z1)

AB

x2x1y2y1z2z1a1b1a2b2a3b3222cosab

22a12a2a3b12b22b32（二）基本方法

1．用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法：

(1)线线平行

证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．

a(2)线线垂直

证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，即⊥b⇔a·b＝0.

(3)线面平行

①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量，

③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．

(4)线面垂直

①证明直线方向向量与平面法向量平行；

②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．

(5)面面平行

①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；

②转化为线面平行、线线平行问题．

(6)面面垂直

①证明两个平面的法向量互相垂直；

②转化为线面垂直、线线垂直问题

2．运用空间向量求空间角

1、求两异面直线所成角

利用公式cos〈a，b〉＝，但务必注意两异面直线所成角θ的范π围是0，2，故实质上应有：cosθ＝| cos〈a，b〉

|. 2、平面法向量的求法：设n是平面的一个法向量，其坐标为(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线向量a,b垂直，其数量积为0列出两个关于x、y、z的三元一次方程组，取这个方程组的一组非零解即得平面的一个法向量n。

3、线面角的求法：设n是平面的一个法向量，AB是平面的斜线l的一个方向向量，则直线l与平面所成角为aecarcsinABnABn

4、二面角的求法：① AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为AB,CD；

② 设n1,n2分别是二面角l的两个面的法向量，则n1,n2arccos这就是二面角l（或其补角）的大小。

n1n2n1n2，5、点、面距离的求法 设n是平面的法向量，AB是平面的斜线段，则点B到平面的距离d

ABnn。

(三)．题型探究

空间向量对应立体几何题型

.垂直和平行证明：

（1）

线线垂直

（2）

线面垂直

（3）

面面垂直

（4）线线平行

（5）线面平行

（6）面面平行

.夹角计算：

（1）线线的夹角

（2）线面的夹角

（3）面面的夹角

距离计算：

（1）两点间的距离（即线段的长度）

（2）点到面的距离

（四）几点提醒.

坐标法：空间直角坐标系的建立

直接建系：

建系（简洁）—坐标化（细心）—计算（准确）—结论（正确）

不方便直接建系：(转化) 解题易错处：

（1）不规则几何体空间直角坐标系的建立

n1,n2（2）用平面法向量n1,n2

的夹角

求面面角时，两个角何时相等何时互补

（3）求线线夹角、线面夹角、面面夹角时结论的表述：

注：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）

五．典例解析

题型一：空间向量与线面位置关系

【例1】

如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，AB，PC的中点．求证：

(1)MN∥平面PAD；

(2)平面PMC⊥平面PDC.

(1)如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz.

设PA＝AD＝a，AB＝b，则有，P(0，0，a)，A(0，0，0)，

D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)，

因为M，N分别为AB，PC的中点，所以Mb2，0，0b，N2，a2，a2.所以MN→＝aa→→0，2，2，AP＝(0，0，a)，AD＝(0，a，0)，

所以MN→＝12AD→＋12AP→.又因为MN⊄平面PAD，

所以MN∥平面PAD.

PA＝AD，M

b→→(2)由第一问可知PC＝(b，a，－a)，PM＝2，0，－a，

→＝(0，a，－a)．

PD设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

→n·PC＝0⇒bx1＋ay1－az1＝0，1则

b→n1·PM＝0⇒x1－az1＝0，22ax1＝bz1，令z1＝b，

所以y1＝－z1，则n1＝(2a，－b，b)．

设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，

→n2·PC＝0⇒bx2＋ay2－az2＝0，则

→n2·PD＝0⇒ay2－az2＝0，x2＝0，所以

y2＝z2，令z2＝1，则n2＝(0，1，1)．

因为n1·n2＝0－b＋b＝0，

所以n1⊥n2.

所以平面PMC⊥平面PDC.

题型二：空间向量与空间角

【例2】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱BB1的中点. ①求直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值；

②求二面角A-MC1-A1的余弦值.

【规范解答】以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则：

A(0，1，0)，A1(0，1，1)，M(0，0，12

)，C1(1，0，1). ①

AC1

=(1,-1,1), A1M

=(0,-1, 设平面AMC1的法向量是n1=(x1,y1,z1), 12

),

1AM

=(0，-1，

2)，

则n1AC1,n1AM,

n1AC1x1y1z10,xy,111n1AMy1z10,z12y1,2

取y1=1,则n1=(-1,1,2),∴直线A1M与平面AMC1所成的角θ

0110114114230，15满足:sinθ|A1Mn1||A1M||n1|=|cos〈

AM, n1||=

230.即直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值是15

②

A1C1

=(1，-1，0)，设平面A1MC1的法向量是n2=(x2,y2,z2), 1nAMyz20,2122n2A1M,n2A1C1,n2A1C1x2y20,

x2y2,z2y2,

解得2取y2=1,则n2=(1,1,-2) n1n21142cos〈n1,n2〉.|n1|n23

114114,又二面角A-MC1-A1的平面角是锐角，

2.3∴二面角A-MC1-A1的余弦值是

六、本课小结：

用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。

面面距离面角点面距离向量的模回归图形二面角平向量的夹角回归图形

七、作业布置：课本P121 第 2、6 题

八、教后反思：本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底｛i，j，k｝建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a·b=|a|·|b|cos在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记。

对本讲内容的考查主要分以下三类：

1．以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质

此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。

2．向量在空间中的应用

在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。

在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键。