小结教学设计第一课时

3.3导数在研究函数中的应用(教学设计) 学校：邯郸市第三中学

姓名：王献强

一、教材分析

我们在复习过程中，发现学生对于导数能够运用，但在具体运用过程中，问题比较多的是如何运用导数去解决问题的手段或解决问题的途径不够宽，或解法不是很灵活。因此，我通过本堂课进一步巩固这部分内容，利于学生进一步地掌握导数知识的运用来确定函数的单调性、极值、最值、从而解决恒成立与不等式证明问题上的应用。

二、学情分析

根据教材结构与内容分析，结合高考考纲要求，立足学生的认知水平

，制定如下教学目标和重、难点。

三、教学目标

知识与技能：

通过高考中涉及到导数的“虚设零点”问题，在学生掌握求曲线导数，判断函数单调性，及如何求极值，最值的基础上，总结出“虚设零点”的技巧。

过程与方法：

通过互动来培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

通过问题的探究体会数形结合，构造函数的数学思想。

情感、态度与价值观：

通过常见题型的常见解决方法，是学生认识到解决有关导数的综合问题并不复杂，从而激发学生的学习兴趣。

四、教学重点、难点

教学重点：利用导数判断函数单调性，极值，最值，不等式证明。

教学难点：以导数为工具处理恒成立问题，及证明不等式。

五、学法与教法

学法与教学用具

学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题（如问题2、3处理）。

（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动（如课前热身题的处理）。

教学用具：电脑、多媒体。

教法：根据学生实际状况，采用分层学导式教学法。

六、教学过程

本节课教学过程主要分为：知识回顾，典例示范，知识小结，高考赏析四个板块

【知识回顾】（重在对知识的进一步理解和掌握。有利于构建知识网络，回归教材而高于教材）

1.判断函数单调性，求极值，最值的方法。

【注】由学生自己来归纳，目的是加强学生的印象。

【典例示范】

例1：若函数f(x)lnxlnx在xx0处取得最大值，则下列结论正确的是

1xA．f(x0)x0 B．f(x0)x0 C．f(x0)x0 D．f(x0)x0

【设计】

提问：本题已知函数在xx0处取得最大值由条件得到什么？

1

学生：函数f(x)在xx0处导函数等于0. 老师：函数f(x)在xx0处导函数等于0能得到什么？

学生：不知道. 老师：把xx0代入导函数中能得到一个等式lnx01x0. 最终得到f(x0)lnx01x0lnx01x0x0问题得以解决. 1x01x0老师：在本题中需要注意的问题是什么？

学生：求导后令导函数等于零，得到lnx01x0在本题中起到一个整体代换的作用. 老师：非常好.

例2：设函数f(x)xalnxb，曲线yf(x)在点1,f(1)处的切线为xy20. 1)

求yf(x)的解析式；

2)

证明：f(x)0. 【设计】

老师：怎么解决第一问的问题？谁来回答一下. 学生：根据已知条件点1,f(1)在切线xy20以及函数yf(x)在点1,f(1)的切线

斜率为1两个条件，得到f(x)x2lnx1. 老师：第二问谁来说一些思路？

学生：要证明f(x)0只需要证明f(x)min0. 老师：能不能说一下具体的过程？

学生：先求导，令导函数等于零，求函数的单调性，求最值等. 老师：函数由零点吗？能求出来吗? 学生：有零点，但不知道怎么求. 老师：确实有零点，因为f(x)在定义域能单调递增，且f(1)10,f(2)ln20，根据函数零点存在性定理可知，存在x01,2使得f(x0)0，即lnx0办？

学生:分析函数yf(x)的单调性，求最值. 老师：非常好，分析函数在定义域的单调性可知，函数f(x)在xx0取得最小值，最小21.然后怎么x0

2

24值为yf(x)f(x0)x02lnx01x02115x1,2

00,x0xx00在上面的计算过程中需要注意的问题有哪些？

学生：需要注意f(x0)0即lnx0老师：非常好.

例3：已知函数f(x)lnxx1，函数g(x)axex4x，其中a为大于零的常数. 1)

求函数f(x)的单调区间；

2)

求证：g(x)2fx2lnaln2.

【设计】

老师：第一问非常简单，但需要注意什么问题？

学生：需要注意函数f(x)的定义域为0,. 老师：非常好.第二问谁来说一些思路？

学生：要证明g(x)2fx2lnaln2,只需要证明gx2f(x)min0. 老师：能不能说一下具体的过程？

学生：先求导，令导函数等于零，求函数的单调性，求最小值等. 老师：函数由零点吗？能求出来吗? 学生：求不出来，我们可以例2的思想，先分析导函数的单调性，且22a0，进行“虚设零点”，然后分析函数的单调性，求最值G020,G2e1a21在计算过程的整体代换，还有x0的取值范围. x0最终问题得以解决. 2老师：为什么取？取1或者100行吗？

a学生：不行，因为不能保证导函数大于0. 老师：非常好.

【知识小结】

如果f(x)的零点存在但无法求出时，这时可采用虚设零点，逐步分析出“零点”所在的范围和满足的关系式，然后分析出相应的函数的单调性，最后通过恰当运用函数的极值与零点的所满足的“关系”推演出所要求的结果. 通过这种形式化的合理代换或推理，谋求一种整体的转换和过渡，从而转化为普通方程，有效破解求解或推理证明中的难点.

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【考点测评】

1.（2017年邯郸一模）已知函数f(x)lnx12axxm(mZ). 21)

若f(x)是增函数，求a的取值范围；

2)

若a0，且f(x)0恒成立，求m的最小值.

教学反思

在教学过程中，抓住导函数与原函数的图象的关系，帮助学生理解导数的应用。同时加强学生对函数的单调性、极值、最值问题的解决，运用导数求解显得简捷，思路清晰。 本节课学生的互动还是不错的，学生回答问题积极。在整堂课上强调学生的思考，主动发现。不足之处是思考时间短，问题理解不够透彻。在导入时例2第二问是易错题，虽然加以强调，但是总结还是不够深刻，属于个人专业层面上的问题。例3中零点所在区间讲述不够彻底，没跟学生讲清楚，本题画函数的大致图像实际上是利用函数的单调性和极值求函数的最大或最小值。

总之，导数作为工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数单调性，极值以及不等式证明问题，在应用过程中要加强对基础知识的理解，重点掌握利用分离变量法，数型结合来解决恒成立问题。利用导数来证明不等式，也是近年高考中出现的一种热点题型，关键是构造函数的思想，依据函数的单调性，进而求最值，这一方法应用非常广泛。

【高考赏析】 1.（2015年全国高考新课标1卷文21题）设函数f(x)e2xalnx. 1) 讨论f(x)的导函数f(x)的零点的个数；

2) 证明：当a0时，f(x)2aaln

2.（2012年全国新课标卷文21第2问）

设函数f(x)exax2.若a1，k为整数，且当x0时，xkfxx10，求k的最大值.

2. a

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