1.2.1 充要条件教案教学设计

充要条件

【教学目的】

1、理解充要条件的含义

2、能判断一些简单的充要条件

3、基本能区分必要不充分，充分不必要。

【情感目标】

让学生加深理解概念，熟悉概念,并会巧妙运用

【教学重点和难点】四种类型条件的判别

【授课类型】讲授课

【课时安排】1课时

【教

具】多媒体

【教学过程】

1.思考:下列两题中α是β的什么条件? 1)

α:三角形中三个内角相等

β:三角形是等边三角形

2)

α:a－b+2=0

β:

a = b-2 解:1）和2）中，α

β，且β



α,所以，α既是β的充分条件，

α又是β的必要条件。

充要条件:如果既有α

β，又有β



α，即有α

β，即α既是β的充分条件，

又是β的必要条件，则α是β的充分且必要条件，

简称充要条件。

2.

思考：

已知α是β的充要条件，把“如果α，那么β”作为原命题所得的四种命题的真假如何？已知α是β的充分非必要条件呢？已知α是β的必要非充分条件呢？

解：α是β的充要条件时，四个命题都为真命题。

α是β的充分非必要条件时，原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题。

α是β的必要非充分条件时，逆命题和否命题为真命题，原命题和逆否命题为假命题。

3.

例题选讲: 例1：已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），

“ b2－4ac=0 ”是“它有两个相等的实数根”的什么条件？

解：

ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为（x ＋b／2a)2=(b2－4ac)／4a2

当b2－4ac=0 时，方程右边是0，此时方程有两个等根，x1 = x2 = －

b／2a；反之，如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，由韦达定理，得x1+x2=2x1= －

b／a,

x1x2=x12=c／a

则（－

b／2a）2=c／a，即b2－4ac=0 。

所以，

“ b2－4ac=0 ”是“它有两个相等的实数根”的充要条件。此时，我们也称当且仅当b2－4ac=0 时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根。

例2：“x2－5x＋6=0” 是“x=2”的

（

）

（A）充分非必要条件

（B）必要非充分条件

（C）充要条件

（D）既非充分又非必要条件

例3：三个数x、y、z不都是负数的充要条件是

(

)

（A）

x、y、z中至少有一个是正数（B）

x、y、z都不是负数

（C）

x、y、z中只有一个是负数

（D）

x、y、z中至少有一个是非负数

例4：“x1＞0 ，且x2＞0”是“x1

＋x2＞0,且

x1 x2

＞0”的(

)

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件

（D）既非充分又非必要条件

例5：

“x1＞3，且x2＞3”是“x1

＋x2＞6且

x1 x2

＞9”的(

)

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件

例6:写出“x1＞3，且x2＞3”的一个充要条件：

解：∵

x1＞3，且x2＞3

 x1 －

3

＞0，且x2 －

3

＞0



（x1 －

3）＋

（

x2 －

3

）

＞0，

且（x1 －

3）（x2 －

3

）

＞0

∴“x1＞3，且x2＞3 ”的一个充要条件是

（x1 －

3）＋

（

x2 －

3

）＞0且（x1 －

3）（x2 －

3

）＞0

例6：设A是B的充分非必要条件，B是C的充要条件，D是C的必要非充分条件，则D是A的(

)

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件

（D）既非充分又非必要条件

例7：设A是B的充分非必要条件，B是C的必要非充分条件，同时B是D的充分非必要条件，C是D的必要非充分条件，则C是A的(

）

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件

（D）既非充分又非必要条件