信息技术应用 图形技术与函数性质ppt专用说课稿内容

第3课时

几个常用函数的导数及其公式

1.能根据定义,求函数y=c,y=x,y=x2,y=等的导数.

2.熟记函数y=c,y=x,y=x2,y=等的导数.

3.运用y=c,y=x,y=x2,y=等的导数公式解决问题.

4.熟记基本初等函数的导数公式.

根据导数的概念,我们知道可以用定义法求函数f(x)=x3的导数,那么是否有公式法来求它的导数呢?

问题1:由导数的定义求f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=的导数.

对于f(x)=x,f'(x)=

=

=1,即f'(x)=x'=1.

对于f(x)=x2,f'(x)=

===

, 即f'(x)=(x2)'=

.

对于f(x)=,f'(x)=====

.即f'(x)=()'=-.

问题2:几个常用函数的导数.

原函数

导函数

f(x)=c

f(x)=x

f(x)=x2

f(x)=

f'(x)=

f'(x)=

f'(x)=

f'(x)=

f(x)=

f'(x)=

问题3:基本初等函数的导数公式.

(1)c'=

(c∈R); (2)(xn)'=

(n∈Q); (3)(sin x)'=

,(cos x)'=

; (4)(ex)'=

,(ax)'=

; (5)(ln x)'=

,(logax)'=

=.

问题4:利用导数的定义求导与导数公式求导的区别.

导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函数是由

定义的,所以函数求导总是要归结为求

,这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后,求函数的导函数就可以用公式直接求导了,简洁迅速.

1.下列结论不正确的是(

).

A.若y=0,则y'=0 B.若y=5x,则y'=5 C.若y=x-1,则y'=-x-2

D.若y=,则y'=2.若函数f(x)=A.0

,则f'(1)等于(

).

B.-

C.16D.

3.若y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为

.

4.求曲线y=x4在点P(2,16)处的切线方程.

直接用导数公式求函数的导数

(1)求下列函数的导数: ①y=x12;②y=;③

y=.

(2)设f(x)=10x,则f'(1)=

.

导数的综合应用

若曲线y=在点(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于(

).

C.16

D.8

A.64

B.32

f'(a)和[f(a)]'含义要搞清

已知f(x)=sin x,求f'(a)和[f(a)]'.

求下列函数的导数: (1)y=x13;(2)y=;(3)y=; (4)y=log3x;(5)y=sin x;(6)y=

.

求证:在双曲线xy=a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数(如图).

(1)若函数f(x)=x3,则[f(2)]'等于(

).

A.8

B.12

C.1

D.0 (2)已知f(x)=x2+3xf'(2),则f'(2)=

.

1.已知f(x)=xα,若f'(-1)=-2,则α的值等于(

).

A.2

B.-2

C.3

D.-3 2.曲线y=x2在点P处的切线斜率为k,当k=2时P点坐标为(

).

A.(-2,-8) 3.曲线y=B.(-1,-1) C.(1,1) D.(-,-) 在点Q(16,8)处的切线的斜率是

.

4.求下列函数的导数: (1)y=log4x3-log4x2; (2)y=-2x; (3)y=-2sin(2sin2-1).

(2012年·辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为(

).

A.1 B.3 C.-4 D.-8

考题变式(我来改编):

第3课时

几个常用函数的导数及其公式

知识体系梳理

问题1:

2x 2x -

问题2:0

1

2x -

问题3:(1)0

(2)nxn-1

(3)cos x -sin x (4)ex

ax·ln a (5)

·logae 问题4:极限

极限

基础学习交流

1.D

当y=时, y'=()'=,D不正确,故应选D.

2.D

f'(x)=()'=,所以f'(1)==,故应选D.

3.某物体作瞬时速度为1的匀速运动

由导数的物理意义可知:y'=1可以表示某物体作瞬时速度为1的匀速运动.

4.解:点P(2,16)在曲线上,k=f'(2)=32, 切线方程为y-16=32(x-2),即32x-y-48=0.

重点难点探究

探究一:【解析】(1)①y'=(x12)'=12x11; ②y'=()'=(x-4)'=-4x-5=-; ③y'=()'=()'==.

(2)∵f(x)=10x,∴f'(x)=10xln 10,∴f'(1)=10ln 10.

【小结】根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式,熟记基本初等函数的求导公式可以快速解题.

探究二:【解析】y'=-令x=0得y=,∴k=-,切线方程是y-=-(x-a).

,令y=0得x=3a, ∴三角形的面积是S=×3a×【答案】A =18,解得a=64.故选A. 【小结】利用导数求切线方程时,明确函数在x=x0的导数就是切线的斜率.

探究三:【解析】

f'(a)=[f(a)]'=f'(x)[问题]f'(a)与[f(a)]'的含义相同吗?

[结论] f'(a)与[f(a)]'的含义不同.上面的解法是将f'(a)与[f(a)]'混为一谈.

于是,正确解答为: 由于f'(x)=(sin x)'=cos x,而f'(a)表示导数f'(x)在x=a处的值,故f'(a)=cos a;[f(a)]'表示函数f(x)在x=a时的函数值f(a)=sin a(常数)的导数,因此[f(a)]'=0.

【小结】学好数学只需要六个字:“理解、记忆、运算”,熟记基本初等函数的求导公式是正确解题的前提.

思维拓展应用

应用一:(1)y'=(x13)'=13x13-1=13x12.

(2)y'=()'=(x-3)'=-3x-3-1=-3x-4.

(3)y'=()'=()'==.

.

(4)y'=(log3x)'=·log3e=(5)y'=(sin x)'=cos x.

(6)y'=()=()'=-=-.

应用二:因为xy=a2, 所以y=,所以y'=()'=-, 函数y=在图象上的任一点(x0,y0)处的切线斜率k=-,y0=, 所以切线方程是y-y0=k(x-x0), 即y-=-(x-x0),

令x=0,得y=, 令y=0,得x=2x0, 所以S=|x|·|y|=||·|2x0|=2a2,为常数.

即在双曲线xy=a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.

应用三:(1)D

(2)-2

(1)因为f(2)是常数,所以[f(2)]'=0.注意区分[f(2)]'与f'(2).

(2)由题意,得f'(x)=2x+3f'(2), ∴f'(2)=2×2+3f'(2),∴f'(2)=-2.

基础智能检测

1.A

f'(x)=α·xα-1,∴f'(-1)=α·(-1)α-1=-2,代入验证得α=2.

2.C

设点P的坐标为(x0,y0), ∵y=x2,∴y'=2x.∴k=y'∴x0=1,∴y0==2x0=2, =1,即P(1,1),故应选C.

,∴y'|x=16=.

3.

∵y=,∴y'=4.解:(1)∵y=log4x3-log4x2=log4x, ∴y'=(log4x)'=(2)∵y=.

=, -2x=∴y'=()'=-.

(3)∵y=-2sin(2sin2-1)=2sin(1-2sin2) =2sincos=sin x, ∴y'=(sin x)'=cos x.

全新视角拓展

C

可确定点P,Q的坐标为P(4,8),Q(-2,2),又因为y'=x,所以过点P,Q的切线的斜率分别为kP=4,kQ=-2,所以两条切线方程分别为y=4x-8,y=-2x-2,联立方程可得A(1,-4),故点A的纵坐标为-4.