习题2.3教学实录及点评

一、教学目标

【知识与技能】:

1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.

2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.

【过程与方法】:

通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.

1、在类比及实验中获得双曲线的知识,培养学生合理猜测的能力.

2、在双曲线标准方程的推导中,进一步提高学生的代数运算能力和理性化的数学思维.

3、能根据已知条件,选择恰当形式的双曲线方程解题.

4、加深对类比、求简、分类讨论思想的理解与运用.

【情感、态度与价值观】:

1、通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.

2、在教学中渗透“量变产生质变”的辩证唯物主义世界观. 二、学情分析

1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;

2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性. 三、重点难点

教学重点:双曲线的定义、标准方程及其简单应用 . 教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a<2c的理解

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四、教学过程

第一学时

教学活动

活动1【导入】

复习研究椭圆的定义及标准方程的基本方法.(提问为主,教师补充.)

1.画出图形(事先准备好的几何画板);2.研究椭圆上的点所满足的几何条件;3写出椭圆上的点的集合,归纳总结出椭圆的定义;4.根据定义,求出椭圆的方程.请类比研究椭圆的基本方法研究双曲线.

【设计意图:激活学生已有的认知结构,用类比思想为研究双曲线找到了方法与策略.】

活动2【讲授】尝试画图,形成感知

1. 教师提问:如何画双曲线?

2. 画双曲线:(1) 取一条拉链;(2) 如图把它固定在板上的两点F1、F2;(3) 拉动拉链(M),在板上慢慢移动观察画出的图形是什么?

【:激活学生已有的认知结构,用类比思想为研究双曲线找到了方法与策略.】

3. 用几何画板演示双曲线的形成过程.提出问题:你能总结出哪些几何规律?(小组合作探讨)

【设计意图：借助几何画板的演示,让学生体会双曲线上的点的运动规律,经历知识的形成过程,积累感性经验,通过实践思考,为进一步上升到理论做准备.】

4.学生总结几何规律.双曲线是什么样的点构成的集合?应如何给双曲线下定义?

在双曲线定义中,请同学们思考下面问题:

1:联想到椭圆的定义,你是否感到双曲线中的常数2a也需要某种限制?为什么?

2:若2a=2c,则M点的轨迹又会是什么呢?又2a>2c呢?

小组探究结果:

所以,轨迹为双曲线,必需限制2a<2c,且2a≠0.学生第一次修改定义.(2a<2c,非零常数)

【设计意图:通过类比椭圆定义中的限制条件,迁移至双曲线中是否成立?让学生大胆猜想,做实验验证.借助于计算机,把难以想象的轨迹,变成直观的、运动的轨迹图形,不仅使学生对双曲线有感性认识,而且加深了对事物内在本质的理解.】

活动3【讲授】合作交流,导出方程

1、类比:类比椭圆标准方程的建立过程(用屏幕显示图形),让学生认真捉摸坐标系的位置特点(力求使其方程形式最简单).

2、合作:师生合作共同推导双曲线的标准方程.(学生推导,然后教师归纳)

按下列四步骤进行:建系、设点、列式、化简从而得出了双曲线的标准方程.

双曲线标准方程:焦点在x轴上

(a>0,b>0)

3、探究:在建立椭圆的标准方程时,选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.那么双曲线的标准方程还有哪些形式?

焦点在y轴上 (a>0,b>0) 其中:c2=a2+b2

活动4【活动】观察、归纳,寻找异同

【设计意图:教学过程是师生互相交流、共同参与的过程.数学通过交流,才能得以深入发展,数学思想才能变得更加清晰;通过多边合作,又可以增强学生的合作能力与群体创造意识.教学中,只有在师生密切合作、共同探索的氛围中数学交流才能得以真正实施.上述设计在探究双曲线标准方程时,通过师生的对话交流、密切合作和信息的互动,让学生体验合作交流,类比探究的学习过程,并自觉地建构起双曲线标准方程的知识系统】

活动5【练习】

练习反馈,巩固提高

练习1.下列方程哪些表示双曲线？

x2y2(1)11616

x2y2(2)12516

(3)9x225y22250

(4)3x22y21练习2．根据方程，写出焦点坐标及a,b的值：

222xyx

(1)1和y21259152222xyyx

2)(1和14334

练习3 已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上的点P到F1 、F2 距离差的绝对值等于6,求双曲线标准方程.

【设计意图:以课本例题为本,既让学生巩固和加深对双曲线及其标准方程的理解,又使学生在“练”的过程中通过反思、感悟,不断调整自己的认识结构和经验结构,完成人的经验自主建构的过程】

活动6【活动】回顾反思——归纳提炼

思考:

1.本节课学习的主要知识是什么?

2.求双曲线标准方程常用方法是什么

活动过程:(师)提问

----- (生)小结

----- (师生)补充完善.

教师总结:今天我们类比椭圆的定义及标准方程得到双曲线的定义及标准方程,接下来我们也将继续利用方程展开研究双曲线的几何性质.

【设计意图:归纳小结由学生来完成,让学生回顾本节所学知识与方法,以逐步提高学生自我获取知识的能力,他们及时发现并纠正自己学习中存在的问题,培养学生学习的主动性和良好的学习习惯.】

活动7【作业】作业布置

1.P54习题A组1、2、3 2.固学案23页.