1.2.1 充要条件全国优秀课堂实录

1.2.2充要条件

【教学目标】

1.知识与技能目标：

(1)正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件,必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

(2)正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件. (3)通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．

2.过程与方法目标：在观察和思考中,在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

3. 情感、态度与价值观：

激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

【教学重难点】

重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

【教学过程】

☆复习回顾☆

充分条件和必要条件的含义是什么？

如果“ p  q ”，则称p是q的充分条件，且q是p的必要条件. ☆情境引入☆

已知p：整数a是6的倍数；q：整数a是2和3的倍数. 请判断： p是q的充分条件吗？

p是q的必要条件吗？

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，

要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

易知：pq，故p是q的充分条件；

又qp，故p是q的必要条件．

此时,我们说, p是q的充分必要条件

☆探索新知☆

探究一 充要条件的定义

一般地,如果既有pq ，又有qp 就记作 p  q. 此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件. 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.[来源:学*科*网Z*X*X*K]

概括地说,如果p  q,那么p 与 q互为充要条件. 一般地，若pq ,但q 

p，则称p是q的充分但不必要条件；

若pq，但q 

p，则称p是q的必要但不充分条件；

若pq，且q 

p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

在今后讨论p是q的什么条件时，就是指以上四种之一。

例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)

p:b＝0 q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

(2)

p:x ＞ 0,y ＞ 0 q: xy＞ 0；

(3)

p: a ＞ b q: a + c ＞ b + c；

(4)

p：两直线平行； q：两直线的斜率相等. 分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p 解：命题（１）和（３）中pq，且qp，p 是q的充要条件

命题（２）中pq ,但q 

p，p 不是q的充要条件（充分不必要条件）

命题（4）中p 

q，且q 

p，p 是q既不充分也不必要条件

例2.判断p是q的什么条件，并填空：

（1）p：x是整数是q：x是有理数的 ___________________．

（2）p：ac＝bc是q：a＝b的 ___________________．

（3）p：x＝3或x＝-3是q：x2＝9 ___________________．

（4）p：同位角相等是q：两直线平行的 ___________________. （5）p：(x-2)(x-3)＝0是q：x+2＝0的___________________．

探究二 判断充分条件、必要条件的方法

1.直接用定义判断

2、利用命题的四种形式进行判定(原命题：若P则q 逆命题：若q则P) p是q的充分不必要条件，原命题为真逆命题为假 p是q的必要不充分条件，原命题为假逆命题为真

p是q的充要条件，原命题、逆命题都为真

p是q的既不充分也不必要条件，原命题、逆命题都为假

3、利用集合的关系判定

从集合角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；

(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若A B,则p是q的充分不必要条件；q是P的必要不充分条件；

(5)若BA，则p是q的必要不充分条件；q是P的充分不必要条件；

(6)若A⊈B且B⊈A，则p是q的既不充分也不必要条件. 练习：

1、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6,则p是q的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

2、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的 ( ) A.充要条件 B .必要不充分条件 C .充分不必要 D .不充分不必要

3、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是( ) A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0

探究三 充要条件的证明

例3：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．

要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可．

证明过程略．

【变式训练】（备）关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是什么? 并证明你的结论. 【解析】因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1,所以a+b+c=0, 即关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0 证明如下: ①充分性:因为a+b+c=0,所以a×12+b×1+c=0, 所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1. ②必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1, 所以a×12+b×1+c=0, 所以a+b+c=0. ☆课时小结☆

1.充要条件的定义

2.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法. 3.充要条件的证明与探求

(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明. 在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性. (2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件. ☆课后作业☆

P12：习题A组1.2题