复习参考题教案（名师）

课题：

3.2.4立体几何中的向量方法（四）——问题 总第 个教案

课型：

新授课

上课时间： 年 月 日星期____

教

学

目

标

1.知识与技能

能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，能用向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题．

2.过程与方法

通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过程，体会向量运算的几何意义．

3.情感、态度与价值观

引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．

教学重点

用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题．

教学难点

空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．

教学方法

通过观察.类比.思考.交流和讨论等. 教学过程：

批

注

活动一：创设情景、引入课题

（5分钟）

问题1：在空间中，用空间向量解决立体几何的步骤？

问题2：空间中的角度有多少种？用空间向量如何解决？

今天我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量来表示并进行解决一些平行的应用． 点题：今天我们学习“用空间向量方法求平行问题” 活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）

问题3：回忆立体几何中有那些平行关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断？ l∥ma∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)

l∥α⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0

α∥β⇔u∥v⇔(a3，b3，c3)＝k(a4，b4，c4)

例1：如图3－2－5，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1. 【思路探究】

线面平行→线与面的法向量垂直→数量积为0

1

【自主解答】

以A为坐标原点建立空间直角坐标系．

设正三棱柱的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)，

则A(0,0,0)，B(3a3aaa，，0)，B1(a，，b)，C1(0，a，b)，D(0，，0)，

222223a3a→→→∴AB1＝(a，，b)，BD＝(－a,0,0)，DC1＝(0，，b)．

2222设平面DBC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

3→BD＝－ax＝0，n·2则→an·DC＝y＋＝0，21

x＝0，∴

az＝－y.2b

→→不妨令y＝2b，则n＝(0,2b，－a)．由于AB1·n＝ab－ab＝0，因此AB1⊥n. 又AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．求证：CE∥平面C1E1F. 【证明】

以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．

1设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，，2)．

21→→设平面C1E1F的法向量为n＝(x，y，z)，∵C1E1＝(1，－，0)，FC1＝(－1,0,1)，

21→C1E1＝0，n·x＝2y，∴即取n＝(1,2,1)．

→FC1＝0，n·x＝z，→→∵CE＝(1，－1,1)，n·CE＝1－2＋1＝0，

2

→→∴CE⊥n，且CE⊄平面C1E1F.∴CE∥平面C1E1F. 例2：(12分)如图3ABCDEF中，四边EF∥AB，EF⊥FB，90°，BF＝FC，H求证：FH∥平面EDB. 【思路点拨】

先通过推理证明FH⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，再设证→→→明HF、BE、BD共面．

－2－6，在多面体形ABCD是正方形，AB＝2EF，∠BFC＝为BC的中点．

图3－2－6

【规范解答】

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC. 又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.2分

又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面ABC. →→以H为坐标原点，HB为x轴正方向，HF为z轴正方向．

建立如图所示的空间直角坐标系．

设BH＝1，则B(1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1).6分

→→→∴HF＝(0,0,1)，BE＝(－1，－1,1)，BD＝(－2，－2，0)，

→→→设HF＝λ·BE＋μ·BD＝λ·(－1，－1,1)＋μ(－2，－2,0)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)8分

∴(0,0,1)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)，

－λ－2μ＝0∴，解得1λ＝1μ＝－，

λ＝12

3

→→1→→→→∴HF＝BE－BD∴向量HF，BE，BD共面．

2又HF不在平面EDB内，∴HF∥平面EDB.

活动三：合作学习、探究新知（18分钟）

图3－2－9 补充练习：11．如图3－2－9，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，π∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线4MN∥平面OCD. 【证明】

作AP⊥CD于点P.如题图分别以AB、AP、AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，2222，0)，D(－，，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1－，2224222→，0).MN＝(1－，，－1)，

444222→→OP＝(0，，－2)，OD＝(－，，－2)．

222→→设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·OP＝0，n·OD＝0. 即22－x＋22y－2z＝02y－2z＝02

，取z＝2，则y＝4，x＝0，

4

22→得n＝(0,4，2)．∵MN·n＝(1－，，－1)·(0,42)＝0，

44∴MN∥平面OCD.

1如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP2的中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.试用向量方法证明AP∥平面EFG.

【自主解答】

如图，以D为原点，

→→→以DA、DC、DP为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz，则有关点及向量的坐标为：

P(0,0,2)，C(0,2,0)，G(1,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，A(2,0,0)．

→→→AP＝(－2,0,2)，EF＝(0，－1,0)，EG＝(1,1，－1)．

设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)．

→EF＝0n·－y＝0x＝z，∴⇒⇒

→x＋y－z＝0y＝0.EG＝0n·

→取n＝(1,0,1)．∵n·AP＝1×(－2)＋0×0＋1×2＝0，

→∴n⊥AP.又AP⊄平面EFG，∴AP∥平面EFG.

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如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面1ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在2一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由．

【解】

分别以AB、AD、AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．

则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 设E(0，y，z)，则

→→PE＝(0，y，z－1)，PD＝(0,2，－1)，

→→∵PE∥PD，∴y(－1)－2(z－1)＝0，①

→→∵AD＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，CE＝(－1，y－1，z)，

→→∴由CE∥平面PAB, 可得CE⊥AD. ∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0. 1∴y＝1，代入①式得z＝.∴E是PD的中点，

2即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.

活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）

1．在空间中，平行有几种情况？

2．如何用空间向量求各种平行关系？

活动五：作业布置、提高巩固

1．

书面作业：P118 A组：13 板书设计： 用向量方法研究立体几何一平行

1、空间中平行种类 例1： 例2： 2、用向量方法解决空间平行的步骤？

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教学后记：

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