2.2.1 椭圆的标准方程教学创新设计

§2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）

汕头市澄海中学

授课教师：郑泽萍

一、

学科素养

1.

在椭圆定义的抽象概括过程中，掌握椭圆的数学本质，体会从具体实例中提炼数学概念的方法，培养数学抽象素养和数学建模能力；

2.

在椭圆标准方程的推导及运用过程中，发展数学运算能力，在数形结合、类比、分类讨论及方程思想等数学思想方法的不断渗透过程中，提高分析和解决问题的能力；

3.

在合作探究、归纳总结的学习过程中，促进形成研究氛围和合作意识，提高探究意识，培养扎实严谨的科学作风，体会数学的简洁美、对称美、数与形的和谐美。

二、

教学重点与难点

1．重点：椭圆定义的理解和标准方程的运用；

2. 难点：椭圆标准方程的推导。

三、

教学过程

（一）新知探索Ⅰ

问题1：生活中你见过哪些椭圆模型？

【设计意图】通过展示现实生活中有关椭圆形状的实物，给学生以直观上的感知，并引导其将圆与椭圆进行联系，将圆的相关知识迁移到椭圆中。

问题2：初中对于圆是怎么定义的？

分析：平面内到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

实践1：取一条长度一定且没有弹性的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点F处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖一周，这时笔尖M画出的轨迹即是一个圆。

分析：记绳长为2a，则点M满足|MF|=2a . 【设计意图】通过动手实践，让学生更好地感知圆的形成，同时也为后面椭圆的由来做好铺垫，使其产生顺理成章。

实践2：若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖M画出的轨迹是什么图形呢？

【设计意图】本环节教师通过事先制作的卡板道具，同桌之间互相合作，利用卡板道具体会椭圆的形成过程；同时可通过改变两定点之间的距离，让学生体会其对椭圆形状所产生的影响，为研究椭圆的性质提供帮助。

问题3：此时，轨迹上的点M满足什么几何条件？

分析：到两个定点的距离之和等于常数，即|MF1|+|MF2|=2a . 1

结论：绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c>0). （1）当2a>2c时，轨迹是椭圆；

（2）当2a=2c时，轨迹是线段F1F2；

（3）当2a<2c时，无轨迹。

（二）概念讲解

1. 椭圆定义：平面内与两个定点F1, F2

的距离的和等于常数

2a（2a大于|F1F2| ) 的点的轨迹叫做椭圆。

两个定点F1

, F2叫做椭圆的焦点，|F1F2|叫做椭圆的焦距，记作2c. (三)新知探索Ⅱ

问题4：求曲线方程的一般步骤是什么？

分析：

（1）建系设点; （2）找出条件；

（3）列出方程；

（4）化简方程；

（5）检验证明. 【设计意图】回顾前面学习曲线方程的求解过程。

问题5：对于图中椭圆，如何建立坐标系更合适？如何求椭圆方程？

分析：充分利用建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”

、“简洁”

分析：以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系

xOy ; 设M(x,y)为椭圆上任意一点，设焦距为2c(c>0) 则焦点F1(c,0),F2(c,0),

根据定义，|MF1|+|MF2|=2a

2222即(xc)y(xc)y2a

2222移项得(xc)y2a(xc)y

2

2222222两边同时平方得

(xc)y4a4a(xc)y(xc)y

222整理得

a(xc)yacx

两边同时平方得

a2x22a2cxa2c2a2y2a42a2cxc2x2

整理得

(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)

x2y21

两边同除以 a(ac)得

22aac2222由曲线与方程的关系可得，上述方程为椭圆的方程. 【设计意图】椭圆标准方程的推导是本节课的一个难点，故此处教师通过逐步板演，引导学生学会分析和处理式子化简。

问题6：如图，如图2所示，能否找出图中长为a，c，a2c2的线段？

分析：由图可得

|MF1|=|MF2|=a

|OF1|=|OF2|=c

|OM|a2c2

x2y2令bac，则上述椭圆方程可化为

221(ab0)，即为焦点在x轴上的椭ab222圆的标准方程。

y2x2同理，对于焦点在y轴上的椭圆的标准方程为

221(ab0)

ab2. 椭圆的标准方程：

焦点

焦点在x轴上

焦点在y轴上

3

图形

标准方程

x2y221(ab0)

2aby2x221(ab0)

2aba,b,c关系

a2b2c2

练一练

判断下列哪些方程表示椭圆？若是椭圆，求其焦点坐标。

x2y2x2y2x2y2x2y21

(3)1

(4)1

(1)1

(2)49944494(5)4x23y21

(6)4x23y212

【设计意图】设计本小题，意在引导学生对椭圆方程形式进行辨别判断。

（四）例题讲解

P(3,)，求椭例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1(3,0),F2(3,0)，且经过点圆的标准方程。

12x2y2解析：(法1)由题，椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的标准方程为221 (ab0)ab

Q焦点的坐标分别是(3,0),(3,0)，c3,

a2b23 ①

又Q椭圆经过点P(3,1),

212(3)2(2)21 ②

2ab

联立①②,解得a24，b21，4

x2所求椭圆的标准方程为y21.

4x2y2(法2)由题，椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的标准方程为221 (ab0)

ab

由椭圆的定义知: 2a|PF1||PF2|，112a(33)2()2(33)2()24

22a2，

又由焦点坐标可得：c3,

b2a2c2431，

x2所求椭圆的标准方程为y21.

4例2 已知椭圆经过点(12

,2)和点(,3)，且焦点在坐标轴上，求椭圆的标准方程。22x2y2解析:椭圆焦点在x轴上时，设椭圆标准方程为221 (ab0)abQ椭圆经过点(21,2)和点(,3),

2222()(2)22221a21ab，解得2b4(1)22(3)21b2a2Qab0,，不合题意，故所求椭圆焦点不在x轴上.

y2x2当椭圆焦点在y轴上时，设椭圆标准方程为221 (ab0)

ab5

Q椭圆经过点(21,2)和点(,3),

22((22)2)2212a24ab

，解得21b1()223)212ab22(y2所求椭圆的标准方程x21.

4【小结】求椭圆的标准方程：

方法：①定义法；②待定系数法；

步骤：先定位，再定量；

注意：当焦点位置不确定时，需分类讨论。

【设计意图】例题1的设计旨在椭圆定义的运用，以及曲线方程求解的一般方法回顾。例2则侧重于椭圆焦点对椭圆方程的影响。

（五）课堂练习

x2y21上，顶点C是椭已知△ABC的顶点A、B在椭圆95圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在AB边上，则△ABC的周长是（

）

A. 6

B. 25

C. 12

D. 45

（六）归纳总结

1. 椭圆的定义；

2. 椭圆的标准方程及其求解方法；

3. 涉及到的数学思想方法。

（七）作业布置

1. 课本第49面

习题A组第1,2题

2. 拓展练习

四、

板书设计

6

§2.2.1 椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义：

MF1MF22a

椭圆标准方程的推导过程

（或例题板演）

屏幕展示

(F1F22c,2a2c0)

2.椭圆的标准方程

x2y2焦点在x轴: 221(ab0)

aby2x2焦点在y轴：221(ab0)

ab其中abc

222五、

教学反思

本节课的教学中第一个要解决的问题就是椭圆是怎么来的，怎么画出来的？这不得不归结于其来源于圆的本质。教学中通过【实践1】向学生展示圆的生成过程，借此引入【实践2】，顺理成章地解决了椭圆形成过程的由来，同时借助这一实际操作提高学生动手能力的同时，也让学生在操作中体会到椭圆的定义的合理性，学会抽象概括出椭圆的定义，提高数学抽象素养。同时在操作中亲历知识的生成过程，自主获取知识，也更利于学生对知识的主动接受，实现知识上和情感上的深度学习。

在后续的整体设计通过设计7个问题，将教师的“导”与学生的“学”有机结合起来，用问题引发学生的思考，用“链”把问题引向深入，用“导学”引领学生走向自主构建。通过7个问题，让学生自主经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，掌握数学概念的数学本质，并通过椭圆定义的严密化，培养扎实严谨的科学作风；在运用“坐标法”求椭圆标准方程的过程中体会知识形成过程，体会各个参数的合理意义，做到知其然并知其所以然，学习新知识的同时体会前人探索的艰辛过程，增强战胜困难的意志品质。每个问题都从发现提出、分析解决、感悟再生三个层面，一问接一问，一环扣一环，步步深入，不仅使学生的思维产生一次飞跃，也在经历数学化的过程中完成预期的教学目标。

【例题1】和【例题2】的设置是为完成本节课所学知识的基本运用和基本技能的培养，而后面【练习】及【变式】则是为了更好地提高学生的分析问题与联系延伸的能力。借助【变式】将椭圆的定义与解三角形问题相结合，并在最后设置【课后拓展】实现与圆知识的迁移与联系，通过深入分析问题的本质，突出转化化归的思想，通过知识的迁移提7

升，达到训练学生数学思维的能力，培养数学能力，在深度学习中发展数学核心素养。

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