1.2.1 充分条件与必要条件优秀教学设计

课题

充分条件与必要条件

【本节教材分析】

（1）三维目标

1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．

2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力． ３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

（2）教学重点：充分条件、必要条件的概念．

(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．) （3）教学难点：判断命题的充分条件、必要条件。

关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。

（4）教学建议：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行思想教育。 新课导入设计

导入一

情境导入

一、创设情境

当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.

【教学过程】

问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？

（1）若x＝y，则x2＝y2

（2）若ab = 0，则a = 0 （3）若x2>1，则x>1 （4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0 推断符号“”的含义

“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq. 简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；

“若p则q”为假，记作pq（或qp）. 三、师生探究

命题(1)、

(4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq.”

说明：

“pq”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q成立，即表示“p蕴含q”。

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四、新知探究

1.什么是充分条件？什么是必要条件？

一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知pq，且qp，那么就说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知pq，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件；

回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系. 命题(1)中因x＝y

x2＝y2，所以“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件，“x2＝y2”是“x＝y”的必要条件；x2＝y2x＝y，所以“x2＝y2”不是“x＝y”的充分条件，“x＝y”不是“x2＝y2”的必要条件；

命题(2)中因a = 0

ab = 0，，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0”的必要条件. ab = 0

a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分条件，“a = 0”不是“ab = 02”的必要条件；

命题(3)中，因“x>1x2>1”，所以“x>1”是x2>1的充分条件，“x2>1”是“x>1”的必要条件.

x2>1

x>1，所以“x2>1”不是“x>1”的充分条件，“x>1”不是“x2>1”的必要条件. 命题4)中，因x＝1或x＝2

x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要分条件. 由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

(1)充分不必要条件，即pq，而q

p. (2)必要不充分条件，即：p

q，而qp. (3)既充分又必要条件，即pq，又有qp. (4)既不充分又不必要条件，即p

q，又有q

p. 2.充分条件与必要条件的判断

（1）直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）

（2）利用等价命题关系判断：“pq”的等价命题是“qp”。即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。

五、巩固运用

例1

指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

（1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. （2） p：两条直线平行；q：内错角相等. （3） p：a>b；q：a2>b2

（4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形. 分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断. 解：⑴由pq，即x-1=0(x-1)(x+2)=0，知p是q的充分条件，q是p的必要条件. ⑵由pq，即两条直线平行内错角相等，知p是q的充要条件，q是p的充要条件；

⑶由pq，即a>b

a2>b2，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；qp，即a2>b2a>b，知q不是p的充分条件，p不是q的必要条件. 综述：p是q的既不充分条件又不必要条件。

⑷由q p，即四边形是正四边形四边形的四条边相等，知q是p的充分条件，p是q的必要条件. 由pq，即四边形的四条边相等四边形是正四边形，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；

综述：p是q的必要不充分条件。

以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是第

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很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断. 例2如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：

⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件. ⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件. 解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件. ⑵如图2⑴，∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件. 解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”. ∵“B不为绿色

 A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件. ⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件. 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明. 先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式. 再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q┐p）的形式. 总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据. 例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想. 给定两个条件p ,q，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A={x |x满足条件q},B={x

|x满足条件p} ①AB,则p为q的充分条件，q为p的必要条件；

②BA, 则p为q的充要条件，q为p的充要条件；

例3 在以下各题中，判断哪些有p⇒q，哪些有q⇒p，并分析各题中p与q的关系：

(1)p：x是整数，q：x是整数；

(2)p：a>b，q：ac>bc(c≥0)；

(3)p：f(x)＝x，q：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数；

(4)p：两条直线平行，q：两条直线斜率相等．

[解析] (1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．

(3)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．

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(4)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．

变式练习

在下列各题中，判定p是q的什么条件．

(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；

(2)p：m<－2；q：方程x－x－m＝0无实根；

(3)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．

[解析] (1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0⇒/ x－2＝0，

∴p是q的充分不必要条件．

(2)∵m<－2⇒方程x－x－m＝0无实根；而方程x－x－m＝0无实根⇒/m<－2，

∴p是q的充分不必要条件．

(3)由p⇒q，而q⇒/p，所以p是q的充分不必要条件．

例4 一元二次方程ax＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个充分条件是(

) A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a>1 [分析] 一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)若有一个正根x1，一个负根x2，则有x1·x21＝<0，∴a<0，因此这类问题常常应用根与系数的关系来解决．

22222a[解析] 因为一元二次方程ax＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，即一根大于10而另一根小于0，所以<0，所以a<0.因为“a<0”

⇒/

“a<－1”，而“a<－1”⇒“a<0”，2a所以一元二次方程ax＋2x＋1＝0(a≠0)的一个充分不必要条件是a<－1.故选C. 512变式练习 1设p：log1 (|x|－3)>0，q：x－x＋>0，则p是q的(

) 662A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

|x|－3>0，

[解析] p：log1 (|x|－3)>0等价于|x|－3<1，22

即3<|x|<4.所以－40，即6x－5x＋1>0，即(2x－1)(3x－1)>0，所以x>或x<，故p⇒q，6623但q⇒/p，所以p是q的充分条件．故选A.

六、回顾反思

本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分第

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条件与必要条件的方法. （1）若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件. （2）条件是相互的；

（3）p是q的什么条件，有四种回答方式：

① p是q的充分而不必要条件；② p是q的必要而不充分条件；

③ p是q的充要条件；

④ p是q的既不充分也不必要条件。

七、课后练习

1．用“充分”或“必要”填空，并说明理由：

①“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 条件；

②“x＞5”是“x＞3”的 条件；

③“x3”是“|x|3”的 条件；

④““个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 条件；

⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 条件；

22⑥对于一元二次方程ax+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b-4ac0”是“这个方程有两个正根”的 条件；

2．设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知真命题“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．

424．是的什么条件?并说明理由. 245．已知p∶x-8x-20＞0，q∶x-2x+1-a＞0。若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围. 6．xy，xy0是22211的充分条件，还是必要条件？充要条件？

xy八、参考答案：

1．①充分 ②充分 ③充分 ④充分 ⑤必要 ⑥必要

2．A

3．充分

4．解：24

但反之却不一定成立。例如取α=1,β=5,显然满足244

4但不满足242所以是的必要但不充分条件. 2245．解：p∶A=｛x｜x＜-2，或x＞10｝，q∶B=｛x｜x＜1-a，或x＞1+a，a＞0}

如图，依题意，pq，但q不能推出p，说明AB，则有

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a0,1a2, 解得0＜a≤3. 1a10.6．

充分不必要条件

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