3.1.1 空间向量及其加减运算第二课时教学实录

《3.1.1空间向量及其加减运算》教学设计

广州市培才高级中学 黄炳进

一、教学目标

知识与技能：理解空间向量的概念，掌握空间向量的加减运算及其运算律，并能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义. 过程与方法：经历向量由平面向空间推广的过程，让学生感受一个数学概念的推广可能带来的很多更好性质，体会数形结合的数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识. 情感态度与价值观：经历向量由平面向空间推广的过程，体验数学在结构上的和谐性，激发学生的学习热情，培养学生勇于探索、创新的个性品质. 二、重点难点

重点：空间向量的概念、加减运算的意义及其运算律. 难点：空间向量加法的运算律. 三、教学方法

采用“启发探究”式与“小组互助合作”式相结合的教学方法，并结合多媒体辅助教学. 四、教学过程

（一）创设情境，引入课题

师：在必修4中我们学习了一个新的量-----向量，今天就让我们继续来研究它，首先，请看屏幕.

出示幻灯片，引导学生观察几个向量不共面的情况.

幻灯片1：这是荆州长江大桥，斜拉索与H形

塔柱的受力情况.（图3．1-1）

幻灯片2：如图3．1-2一块均匀的正三角形钢板，

在它的顶点处分别受力F1、F2、F3，每个力与同它

相邻的三角形的两边之间的夹角都是60，且

图3．1-1 F3F1F2F1F2F3200kg．这块钢板在这些力的作用下将

会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板？

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G(200kg)图3．1-2

师：事实上，不同在一个平面内的向量随处可见．

例如，正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的

三个向量OA、OB、OC就是不在同一平面内的

向量（图3．1-3 ）

（二）类比猜想，合作探究

1.空间向量的有关概念

师：请同学们根据学案中的平面向量的有关知识，在学案上写出空间向量的有关内容. 活动设计：小组合作学习，小组之间可以交流

（向量、长度、表示方法、相等向量、相反向量、零向量、单位向量）. 思考1：平面向量与空间向量的异同点是什么？

师：在空间中，这些概念与平面向量完全相同，不同的是，平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移. 问题1：空间任意两个向量是否可能异面？为什么？

活动设计：课件展示，学生讨论、作答. 师：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们. 2.空间向量的加减运算及其运算律

问题2：把平面向量的推广到空间向量，怎么定义空间向量的加法、减法运算呢？

图3．1-3

问题3：平面内多个向量的加法公式能推广到空间吗？

推广1：首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A1A2A2A3A3A4

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An1AnA1An.

推广2：首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即A1A2A2A3A3A4

An1An0.

活动设计：学生思考，用上图验证. 问题4：平面向量的加法运算律有哪些？能推广到空间吗？你能验证向量加法结合律吗？

abba，(ab)ca(bc)

活动设计:教师引导学生用下面几何体体验.

师：（1）由向量加法的交换律和结合律可知：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变，向量的加法可以按任意的组合与任意的次序进行. (2)三个不共面向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广.请同学们为这个法则起一个名字. 活动设计：学生阅读教材P85，思考并回答“探究”提出的问题. (三)数学运用，深化认识

练一练：已知平行六面体

（1）写出与向量B1C1相等的所有向量；

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（2）以图中一对顶点构造向量，使它们分别等于AB1A1D1C1C1,ADBAC1C1；

（3）设ABa,ADb,A1A1c，请用a,（四）回顾反思，拓展延伸

课堂小结：

师：本节课哪个内容给你留下的印象最深？请同学们小结一下！

活动设计：请学生小结

师：本节课我们从现实生活中抽象出考卷向量，把平面向量的有关概念和加减运算推广到空间向量，这过程中蕴含着一种重要的数学思想----类比，同时我们也看到数学史有用的----它来源于生活，又服务于生活. 巩固练习：

1、在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量AC1的共有（

）

（1）(ABBC)CC1

（2）(AA1A1D1)D1C1

（3）(ABBB1)B1C1

（3）(AA1A1B1)B1C1

2、化简：（1）(ABCD)(ACBD)；（2）ABCBCDAD

3、如图，在长、宽、高分别为AB=4，AD=2，AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中

（1）单位向量共有多少个？

（2）写出模为5的所有向量；

（3）试写出AA1的相反向量. 4、如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的中心，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量. b,c表示DB1,BD1,AC1.

11ABDAA1A；

（1）ABBCCC;

（2）22

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