习题2.3优秀教案范文

1．双曲线定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；

(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2y2x2－＝1(a>0，b>0) a2b2图形

性质

范围

对称性

顶点

渐近线

离心率

x≥a或x≤－a，y∈R

x∈R，y≤－a或y≥a

对称轴：坐标轴

对称中心：原点

A1(－a,0)，A2(a,0)

by＝±x aA1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±x

bce＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

a线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线实虚轴

的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

a、b、c的关系

巧设双曲线方程

c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) x2y2x2y2(1)与双曲线2－2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为2－2＝t(t≠0)．

ababx2y2(2)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn<0)．

mnx2y21．若双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心ab率为(

) A.5

B．5

C.2

D．2 2．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为(

)

A.2

B．22

C．4

D．8 3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(

) 2y2x22y222xA．x－＝1

B.－y＝1

C.－x＝1

D．y－＝1 44442x2y24．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．

73x225．双曲线－y＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．

4题型一

双曲线的定义及标准方程

例1

已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．

例2

根据下列条件，求双曲线的标准方程：

5(1)虚轴长为12，离心率为；

4(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；

(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．

例3

已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________.

变式1．本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？

→→变式2．本例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1·PF2＝0”，则△F1PF2的面积是多少？

x2y2

(1)已知F1，F2为双曲线－＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，54则|AP|＋|AF2|的最小值为(

) A.37＋4

B.37－4

C.37－25

D.37＋25 x2y2(2)设F1，F2分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|ab9＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(

) 4459A.

B.

C.

D．3 334x2x222例4

(1)已知椭圆C1：2＋y＝1(m＞1)与双曲线C2：2－y＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分mn别为C1，C2的离心率，则(

)

A．m＞n且e1e2＞1

B．m＞n且e1e2＜1

C．m＜n且e1e2＞1

D．m＜n且e1e2＜1 x2y2（2）已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1ab1＝，则E的离心率为(

) 33A.2

B.

C.3

D．2 2

x2y21．(2016·广州联考)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条ab渐近线上，则C的方程为(

) x2y2x2y2x2y2x2y2A.－＝1

B.－＝1

C.－＝1

D.－＝1 20552080202080x2y22．(2016·全国乙卷)已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为m＋n3m－n4，则n的取值范围是(

) A．(－1,3)

B．(－1，3)

C．(0,3)

D．(0，3) x2y23．已知F1，F2分别是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在ab→→→→→一点M，使得(OM＋OF2)·F2M＝0(其中O为坐标原点)，且|MF1|＝3|MF2|，则双曲线的离心率为(

) A.5－1

B.3＋15＋1

C.

D.3＋1 22x2y2x24．已知椭圆2＋2＝1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线2a1b1a2y2－2＝1(a2>0，b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2，则e1e2等于(

) b2A.2

B．1

C.3

D．2 2x225．(2015·课标全国Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦2→→点，若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是(

) A.－333322222323

B.－，

C.－

D.－

，，3363633，3x2y26．已知点F是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂ab直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(

) A．(1，＋∞)

B．(1,2)

C．(1,1＋2)

D．(2,1＋2)

x2y27．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)，则aab＝________；b＝________. x2y28．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，ab且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．

y29．(2015·课标全国Ⅰ)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，82A(0,66)．当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________．

10．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．

2252yACC

4.210

5.

例1．

x－＝1(x≤－1)

58x2y2y2x2y2x2y2x2例2.

(1)

－＝1或－＝1.

(2)

－＝1

(3) －＝1. 643664361442525753例3.

解析

∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，

4|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2422＋222－423∴|PF1|＝2|PF2|＝42，则cos∠F1PF2＝＝＝. 2|PF1|·|PF2|42×42×22变式1

不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|21理，得cos∠F1PF2＝＝，所以|PF1|·|PF2|＝8，

2|PF1|·|PF2|21所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝23. 2变式2

不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，

→→→→由于PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，

1即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2.

2|F1F2||F1F2|答案

(1)C

(2)B

（1）A

（2）离心率e＝，由正弦定理得e＝|MF2|－|MF1||MF2|－|MF1|

223sin ∠F1MF2＝＝＝2.故选A. 1sin∠MF1F2－sin∠MF2F11－3→→→→→→→→→→AA 3.D 解析

∵F2M＝OM－OF2，∴(OM＋OF2)·F2M＝(OM＋OF2)·(OM－OF2)＝0，

→→→→即OM2－OF22＝0，∴|OF2|＝|OM|＝c，在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可→→→→→→得MF1⊥MF2.∵|MF1|＝3|MF2|，∴可设|MF2|＝λ(λ>0)，|MF1|＝3λ，得(3λ)2＋λ2＝4c2，解→→→→得λ＝c，

∴|MF1|＝3c，|MF2|＝c，∴根据双曲线定义得2a＝|MF1|－|MF2|＝(3－1)c，

2c∴双曲线的离心率e＝＝3＋1.

BAB

7.a＝1，b＝2. 2a5828.

解析

由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a. 33364242a＋a－4c299179在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝－e2.要求e的最大值，

82882·a·a3355即求cos∠F1PF2的最小值，∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，即e最大值为. 339.

设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，

∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小xy即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1，－366y2与x－＝1联立，解得P点坐标为(－2,26)，此时S△APF＝S△AF1F－S△F1PF＝126. 8210.解

(1)由已知c＝13，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，

a－m＝4，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，则

13137·a＝3·m，x2y2x2y2解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1. 493694(2)不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，

则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝213，

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2102＋42－21324∴cos∠F1PF2＝＝＝.

2|PF1|·|PF2|52×10×4