1.1.3 四种命题间的相互关系教学设计案例

四种命题的关系

考纲展示

命题探究

考点一

四种命题及其真假判断

1

命题的概念

在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

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四种命题间的相互关系图

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四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

注意点

否命题与命题的否定的区别

如果原命题是“若p则q”，则否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”即只否定结论.

1．思维辨析

(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(

) ππ(2)命题“α＝4，则tanα＝1”的否命题是“若α＝4，则tanα≠1”．(

) (3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(

) (4)语句x2－3x＋2＝0是命题．(

) (5)一个命题的逆命题与否命题，它们的真假没有关系．(

) (6)命题“如果p不成立，则q不成立”等价于“如果q成立，则p成立”．(

) 答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×

(6)√

2．已知下列命题：

①已知集合A，B，若a∈A，则a∈(A∩B)；

②若A∪B＝B，则A⊆B；

③若a>|b|，则a2>b2；

④3≥2. 其中是真命题的个数是(

) A．1 C．3 答案

C 解析

①是假命题，因为a∈A⇒/ a∈(A∩B)；②是真命题，因为A∪B＝B⇔A⊆B；③是真命题，因为a>|b|≥0，所以a2>b2成立；④是真命题，因为“3≥2”的意思是3>2或3＝2，只要有一个成立就行，故选C. π3．命题“若α＝4，则tanα＝1”的逆否命题是(

) πA．若α≠4，则tanα≠1 πB．若α＝4，则tanα≠1 B．2 D．4

πC．若tanα≠1，则α≠4

πD．若tanα≠1，则α＝4

答案

C π解析

命题“若α＝4，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，π则α≠4”，故选C.

[考法综述]

四种命题关系及其真假判断是高考的热点之一，一是对“若p，则q”形式命题的改写要熟练掌握，二是弄清命题的四种形式之间的真假关系，属容易题．

命题法

四种命题及其关系

典例

(1)下列四个命题中：①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x3＝2，则x是无理数”的逆否命题．其中是真命题的是(

) A．①②③④

C．②③④

B．①③④

D．①④

(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A．真，假，真

C．真，真，假

B．假，假，真

D．假，假，假

[解析]

(1)①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，显然是真命题；②原命题的逆命题为“若多边形相似，则这些多边形为正多边形”，显然是假命题；③原命题的逆否命题为“若x2＋x－1m＝0没有实根，则m≤0”，由条件可得m<－4，∴结论m≤0成立，是真命题；④原命题是真命题，所以其逆否命题也为真命题．故选

B. (2)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不是共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假．故选B. [答案]

(1)B

(2)B 【解题法】

四种命题关系及真假的判断方法

(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．

(2)判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是将命题简化，对等价的简化命题进行判断．要判断一个命题是假命题，只需举出反例．

1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(

) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 答案

D 解析

由原命题和逆否命题的关系可知D正确．

2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(

) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

答案

D 解析

A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．

3．已知下列三个命题：

11①若一个球的半径缩小到原来的2，则其体积缩小到原来的8；

②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；

1③直线x＋y＋1＝0与圆x＋y＝2相切．

22其中真命题的序号是(

) A．①②③

C．①③

答案

C 解析

对于命题①，设原球的半径和体积分别为r，V，变化后1的球的半径和体积分别为r′，V′，则r′＝2r，由球的体积公式可441141知V′＝3πr′3＝3π·2r3＝8×3πr3＝8V，所以命题①为真命题；命题B．①②

D．②③

②显然为假命题，如两组数据：1,2,3和2,2,2，它们的平均数都是2，6但前者的标准差为3，而后者的标准差为0；对于命题③，易知圆心|0＋0＋1|1到直线的距离d＝＝r，所以直线与圆相切，命题③为22＝21＋1真命题．故选C. 4．下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：

p1：数列{an}是递增数列；

p2：数列{nan}是递增数列；

anp3：数列n是递增数列；

p4：数列{an＋3nd}是递增数列．

其中的真命题为(

) A．p1，p2

C．p2，p3

答案

D

解析

对于p1，数列{an}的公差d>0，∴数列是递增数列；对于p4，∵[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝4d>0，是递增数列；对于p2，∵(n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)an＋(n＋1)d－nan＝a1＋2nd，不能确定a1的正负，上式不一定大于零，该数列不一定是递增数列；同理，对于p3，也不一定是递增数列．故选D. 5.下列命题中，真命题是(

) A．命题“若a>b，则ac2>bc2”

B．命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题

C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题

D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题

答案

D 解析

命题“若a>b，则ac2>bc2”是假命题，如a>b且c＝0时，ac2＝bc2；

命题“若a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题为“若|a|＝|b|，则a＝b”是假命题；

命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题为“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”，是假命题；

命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题．

B．p3，p4

D．p1，p4