小结教学实录

立体几何中的向量方法——证明平行与垂直、求空间角

云南省武定第一中学 杨先文

一、最新考纲

1.理解直线的方向向量及平面的法向量；

2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；

3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．

4.能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题；

二、知

识

梳

理

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面αn·a＝0，的法向量，则求法向量的方程组为

n·b＝0.2．用向量证明空间中的平行关系

3．用向量证明空间中的垂直关系

4．空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足

cos θ＝__|cos〈m1，m2〉|＝|m1·m2|．

|m1|·|m2|(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|＝(3)求二面角的大小

(ⅰ)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小满足cosθ＝|cos〈m，n〉|＝ |m·n|．

|m|·|n| |m·n|．

|m|·|n|

(ⅱ)如图②③，n1，n2

分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．

5．点面距的求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝ ．

三、考点突破：

考点一

利用空间向量证明平行问题

【例1】

如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG. 规律方法

(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．

(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．

考点二

利用空间向量证明垂直问题

【例2】

(2015·济南质检)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC；

(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC. 规律方法

(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．

(2)其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可．当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行．其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．

考点三

利用空间向量解决探索性问题

【例3】

在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB.若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由．

规律方法

对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；

(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．本题是设出点G的坐标，借助向量运算，判定关于P点的方程是否有解．

考点四

求异面直线所成的角

【例4】

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，PA＝2.求：

(1)△PCD的面积．

π(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．答案θ＝. 4规律方法

本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC，BD的夹角β的余弦值为cos β＝ . 考点五

利用空间向量求直线与平面所成的角

【例5】

(2014·北京卷)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：AB∥FG；

(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．

规律方法

利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

考点六

利用空间向量求二面角

【例6】

(2014·广东卷)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF；

(2)求二面角D－AF－E的余弦值．

(1)证明

∵ED⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴ED⊥AD. 又∵四边形ABCD为正方形，因此AD⊥CD. ∵ED∩CD＝D，∴AD⊥平面CDEF. 由于CF⊂平面CDEF，∴AD⊥CF. 又AF⊥CF，AF∩AD＝A. 故CF⊥平面ADF.

(2)解

如图所示，建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC＝1. 由于∠DPC＝30°，PD⊥CD，所以PC＝2，PD＝3. 由于CF⊥FD，FE∥CD，

所以

DF＝34

33，DE＝，

24EF＝.从而D，A，C，F，E五点的坐标分别为

D(0，0，0)，A(0，0，1)，C(0，1，0)，FE33，，0，

4413333，0，0.计算得＝，－，0，＝－，－，1，

444443＝(0，，0)．

4设平面AEF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则n1⊥，n1⊥，

y1＝0，因此

－3x1－3y1＋4z1＝0，取x1＝4，则n1＝(4，0，3)为平面AEF的一个法向量．

由于CF⊥平面ADF，

故平面ADF的一个法向量n2＝(3，－1，0)．

由图可见所求二面角θ的余弦值为

cos θ＝|n1·n2|43257＝＝. 22|n1||n2|1916＋3×（3）＋（－1）规律方法

求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

四、课堂总结与反思

1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．

2．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运

算结果的几何意义来解释相关问题．

3．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．

4．用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标. 5．利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．

6．合理建立空间直角坐标系

(1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同．

(2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．

(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系．

7．异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角．

8．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补. 五、课时作业

1．判断正误(请在括号中打“√”或“×”) 精彩PPT展示

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(×) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(×) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(×) (4)两异面直线夹角的范围是0，围是[0，π]．(√) ππ，直线与平面所成角的范围是0，，二面角的范222．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是(

)

A.322223 B. C. D.

2233解析

如图建立坐标系．则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，

＝(2，0，0)，＝(2，2，0)，

设平面A1BD的法向量

n＝(x，y，z)，则

2x＋2z＝0，即令z＝1，得n＝(－1，1，1)．

2x＋2y＝0，∴D1到平面A1BD的距离d＝＝故选D. 223＝. 333．(2015·郑州模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为__________．

解析

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量．

则n·＝0，n·

＝0，

2y－z＝0，即令z＝2，则y＝1，x＝2，

－x＋2y＝0，于是n＝(2，1，2)，＝(0，2，0) 4. (12分)(2015·重庆调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB. (1)求PA的长；

(2)求二面角B－AF－D的正弦值．

解

(1)如图，连接BD交AC于点O. 因为BC＝CD，且AC平分∠BCD，

故AC⊥BD.(2分) 以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz，

则OC＝CDcosπ＝1.而AC＝4，

3π＝3，

3π3所以AO＝AC－OC＝3，又OD＝CDsin 故A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)．

因为PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)(z＞0)，

z由点F为线段PC的中点，知F0，－1，，，

2因此＝0，2，，＝(3，3，－z)，

2∵AF⊥PB，∴·＝0，即6－＝0，∴z＝23. 2从而||＝23，即PA的长为23.(5分) (2)由(1)知，＝(－3，3，0)，＝(3，3，0)，

＝(0，2，3)．

设平面FAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n1·＝0，n1·＝0，得

zz2－3x1＋3y1＝0，因此可取n1＝(3，3，－2)．

2y1＋3z1＝0，由n2·＝0，n2·＝0，得

3x2＋3y2＝0，故可取n2＝(3，－3，2)．(9分) 2y2＋3z2＝0，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为

cos〈n1，n2〉＝n1·n21＝. |n1|·|n2|837故二面角B－AF－D的正弦值为.(12分) 8构建模板

用向量法解立体几何问题的一般步骤

第一步：建系(必要时先证明再建系)．

第二步：确定相关点的坐标．

第三步：求直线方向向量或平面法向量的坐标．

第四步：判定向量位置关系或计算向量夹角．

第五步：将向量位置关系或向量夹角转化为线、面位置关系或空间角．

探究提高

用空间向量求解立体几何问题，主要是通过建立坐标系或利用基底表示向量坐标，通过向量的计算求解位置关系及角的大小．关键是写准坐标，运算细心，正确转化(将向量运算结果转化为相应几何问题的答案)．