3.3.1 两条直线的交点坐标国家优质课一等奖

两条直线的交点坐标

☆教学目标：1、理解求两条直线交点的方法思想，即解方程组的转化思想，能正确地通过解方程组确定交点坐标并通过求交点坐标判断两条直线的位置关系。

2、通过沟通方程组的解的情况与相应两条直线的交点个数（位置关系）情况，进一步渗透数形结合、坐标法思想。

3、通过探究过定点直线系的方程，培养运用转化思想。

☆教学重点：对转化思想的理解，求两条直线交点即解方程组确定交点坐标。

☆教学难点：过定点直线系的定点求法，对含字母参数解的讨论。

☆教学过程

一、复习引入——点的坐标与直线方程的关系

几何元素

代数表示

坐标P(x,y)

点P 直线l

点P(x0,y0)在直线l上

点P(x0,y0)是l1、l2的交点

方程AxByC0

坐标(x0,y0)满足方程Ax0By0C0

坐标(x0,y0)满足方程组A1x0B1y0C10

AxByC020220上述情况表明：两直线的交点（即公共点）坐标满足由两条直线方程所组成的方程组。那么，如果两条直线相交，怎样求交点坐标？

二、新课——两条直线的交点坐标

1、探究如何判断两直线l1、l2的位置关系，通过解方程组确定交点坐标

已知l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，

A1xB1yC10将方程联立，得，对于这个方程组解的情况分三种讨论：

AxByC0222xx0若方程组有唯一解，则l1、l2有唯一的公共点，此解就是交点坐标yy0P(x0,y0)，即相交

若方程组无解，则l1、l2没有公共点，即平行；

若方程组有无数多个解，则l1、l2有无数多个公共点，即重合。

上述情况表明：通过解方程组可以确定交点坐标；通过求交点可以确定两直线位置关系，即观察方程组解的不同情况得到l1、l2相交、平行、重合三种关系。

2、例题讲解，规范表示，解决问题

例1：求下列两直线交点坐标l1：3x4y20，l2：2x4y20

解：见课本113页

同类练习：课本第114页，练习1

例2：判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。

（1）l1：xy0，l2：3x3y100

（2）l1：3xy0，l2：6x2y0

（3）l1：3x4y50，l2：6x8y100

解：见课本第114页

总结提高：通过解方程组求交点坐标，可以确定两直线位置关系，事实上，进一步探究的结论是：

A1B1

A2B2有唯一解

无解

有无数个解

相交

平行

重合

A1B1C1

A2B2C2A1B1C1

A2B2C2同类练习：

1、课本第114页，练习2 2、（补充）已知直线l1：xmy60，直线l2：(m2)x3y2m0，当m为何值时，l1与l2相交、平行、重合？

解：

三、探究过定点的直线系方程

问题：当变化时，方程3x4y2(2xy2)0表示什么图形？图形有何特点？

探究：取0,1……，得直线3x4y20，5x5y0，……作出图形可知，所有直线都过一个定点，该点为M(2,2)

结论：表示过l1：3x4y20与l2：2x4y20交点即定点M(2,2)的直线系。

总结提高：若l1:A1xB1yC10、l2:A2xB2yC20相交于M(x0,y0)，则方程(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0表示过l1与l2交点的直线系。

同类练习

1、求证：不论取什么实数，直线(21)x(3)y(3)0都过一个定点，并求这个定点坐标。

2、求经过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程。

四、小结与作业

1、直线与直线的位置关系及其判断（解方程组求交点坐标、系数是否成比例）

2、求两直线的交点坐标，解二元一次方程组，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。

3、直线系方程及应用。

4、作业：习题3.3 A组

1，2，3，4

5、课后探究：若l1:A1xB1yC10与l2:A2xB2yC20平行，则方程(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0表示什么图形？图形有何特点？