习题2.3教学设计与反思

习题2.3 授课教师：丽江市第一高级中学 谭志艳

授课班级：高二年级418班

教材；人教A版选修2-1 一、教材内容分析

本节课是高中数学选修2-1第二章第三单元后的习题课的内容，前有椭圆知识及学习方法的铺垫，后有抛物线学习的延续，有利于学生掌握和巩固。三种圆锥曲线中，双曲线是最复杂的一种。虽然学生已经学习了双曲线的方程和简单几何性质，当对于双曲线的理解上还是存在困难，所以通过这节习题课，让学生加强对双曲线的定义和方程的理解。

二、学情分析

知识结构分析：

学生刚刚学习过双曲线，对双曲线有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方程到性质，从性质到应用。双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法是类似的，虽然双曲线的学习可以说是轻车熟路，但是在学习过程中，教师要引导学生关注椭圆与双曲线的区别和联系。

能力体系分析：

习题课对学生的运算能力、分析问题解决问题的要求较高，而这恰恰是许多学生的弱点，因此在教学过程中在培养学生逻辑推理能力、转化与划归能力的同时需着重关注学生的运算能力。

三、教学目标

1、通过对题目的训练，加强对双曲线定义的理解；

2、通过A组第4题的训练，加深对双曲线标准方程的理解；

3、通过A组第5题习题2.2A组第7题的类比，用几何画板直观的人学生发现这椭圆、双曲线这两种曲线的不同，同时引导学生探索发现不同的原因，进一步加深对这两种曲线定义的理解

四、教学重、难点

双曲线的定义；双曲线标准方程的两种形式。

五、教学环节

（1）知识梳理

1、双曲线的定义：让学生独立在学案上完成

2、填表完成双曲线的图像和性质：

1

图形

A1

A

2

F

2

F1

O

x

B1

方程

....

y

B2

A2

A

1

O

y

x

范围

对称性

顶点

离心率

渐近线

（2）例题解：

（一）课本第61页A组习题（上课前自己独立完成，课上由学生回答）：

1、双曲线4x2y2640上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于

（答案：17，考察双曲线的定义）

2、已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程：

（1）16x29y2144；

2

（2）16x29y2144

考察知识点分析：1、双曲线方程的非标准式化为标准式

2、双曲线的两种标准方程的理解，通过方程找出特征数

3、求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8；

（2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长是8；

考察知识点分析：这两题考察双曲线的标准方程，但其中实轴长是2a，虚轴长是2b，焦距是2c，学生容易弄错成a,b,c

（3）离心率e2，经过M5,3. x2y2y2x2解法一：直接设方程为221或221代入点M可直接算出方程；

abab解法二：由于离心率e2所以为等轴双曲线，因此可直接设方程：x2y2，然后代入点M可直接求出，比起解法一不用进行分类讨论，计算量也不大。

（二）例题讲解：

例题1：圆O的半径为定长r,A是圆O内的一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和直线OP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

变式训练：圆O的半径为定长r,A是圆O外的一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和直线OP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

考察知识点分析：这两个题目放在一起，题目的不同仅在与A点是在圆内还是圆外，通过几何画板让学生直观的看到分别会得到椭圆和双曲线，然后再让学生去思考找到为什么是椭圆和双曲线。在这个过程中引导学生观察图形，寻找条件，找到图形中是几何条件，从而加深对椭圆、双曲线定义的理解，也能更好的区分这两类曲线。

y21，过点P1,1能否作一条直线l，与双曲线交于例题3：已知双曲线x22A，B两点，且点P是线段AB的中点？

3

解法一：假设直线l存在，设为ykx11或x11当直线斜率不存在时，x1与双曲线相切只有一个交点，不合题意舍去；ykx112当直线斜率存在时，设Ax1,y1,Bx2,y2,联立方程2y2得到2kx2k2222kxk22k301x222k0由题意相交于两点知22k2k又P为AB中点，所以有x1x22k2k2解得k2但不满足k3且k22k22242k2k22k30k322所以，满足条件的直线l不存在分析：此种方法好想，但学生存在的困难：一是容易忽略斜率不存在的情形，二是存在计算困难，而且会忽视直线与双曲线有两个交点应满足联立方程后得到的应该是一个一元二次方程且0的条件导致出错

解法二：假设直线l存在，设Ax1,y1,Bx2,y2,由于A，B两点均在双曲线上2y121x12所以联立方程得到2x1x2x1x2y1y2y1y22x2y2122xx22yy2又P为AB中点，所以有1代入上式得到12kx1x2y1y22y2x1所以直线l的方程为y2x1，但是联立方程2x24x30,无实数解2y21x2所以，满足条件的直线l不存在

分析：此种方法用在中点弦问题中能很好的简化计算，但对于双曲线问题一定要在求得直线方程以后对所求出的直线方程代入双曲线方程进行检验，看是否能有两个交点。

y21，过点P2,1能否作一条直线l，与双曲线交变式训练：已知双曲线x22

于A，B两点，且点P是线段AB的中点？（学生的课后作业）

（3）小结：

双曲线的定义以及简单几何性质，对于等轴双曲线如何设方程简化计算，涉及中点弦问题可用“点差法”简化计算。

（4）作业布置：

（1）课本第62页：B组练习题；

（2）课本第80页复习参考题：A组第5题和第8题.

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