3.1.2 导数的概念名师教学实录

3.1.2《导数的概念》教学设计

课题

3.1.2

导数的概念

课型

新授课

教学

目标

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数。

[来源学科网Z,X,X,K]

重点[来源:Zxxk.Com]

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念．

难点

教具

准备

多媒体

课时

1 安排

教学过程与教学内容

教学方法、教学手段与学法、学情

[来源学科网]教学过程：

一．创设情景

（一）平均变化率

（二）探究：计算运动员在0t

65这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h

65h()h(0)，

4965h()h(0)所以v490(s/m)，

65049ot

虽然运动员在0t65这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员仍然运49动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

二．新课讲授

1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况：

思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

为了表述方便，我们用limh(2t)h(2)13.1

t0t表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2 导数的概念

从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: x0

limf(x0x)f(x0)flim

x0xx

我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数，记作f'(x0)或y'|xx0，即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)

x说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

（2）xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)lim三．典例分析

2例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数.

x0f(x)f(x0)

xx0[来源:Z+xx+k.Com]2分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)

再求ff6x再求lim6

x0xx解：法一

定义法（略）

3x23123(x212)limlim3(x1)6

法二：y|x1limx1x1x1x1x1（2）求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

2y(1x)2(1x)23x

解：xxy(1x)2(1x)2lim(3x)3

f(1)limx0xx0x例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)x7x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)

根据导数定义，''2f(2x)f(x0)f

xx(2x)27(2x)15(227215)x3

x所以f(2)limflim(x3)3

x0xx0同理可得:f(6)5

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

注：一般地，f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．

四．课堂练习

21．质点运动规律为st3，求质点在t3的瞬时速度为．

2．求曲线y=f(x)=x3在x1时的导数．

3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念

2．导数的概念

六．布置作业

[来源:Zxxk.Com]