2.2.4 平面与平面平行的性质公开课教学设计模版

课时作业(十三) 1．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(

) A．不一定存在与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

答案

A 解析

若a⊂β，且B∈a，则不存在，否则就存在且唯一．

2．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是(

) A．异面

C．平行

答案

C 3．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是(

) A．平行

C．直线在平面内

答案

D 4．已知平面α∥平面β，在下列说法中正确的有________．

①若直线a∥α，则a∥β；

②若直线a⊂α，则a∥β；

③若直线a∩α＝A，则a与β相交；

④夹在α、β间的平行线段相等；

⑤夹在α、β间的相等线段平行；

⑥存在平面γ，使α∥γ，β∥γ，且γ到α、β的距离相等．

答案

②③④⑥

解析

对于①还有一种情况，a⊂β.对于②，a⊂α，则a与β无公共点，故a∥β，③、④也正确．对于⑤两条线段的关系是平行、相交或异面，⑥存在且唯一．

5．(2017·汉中高一检测)夹在两个平面间的三条线段它们平行且相等，则两平面的位置关系为________．

答案

平行或相交

6.如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________．

答案

3

2B．相交

D．平行或直线在平面内

B．相交

D．不能确定

B．只有两条与a平行的直线

D．存在唯一一条与a平行的直线

7．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．

答案

平行四边形

8．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点．求证：MN∥平面ADD1A1.

证明

取CD中点为F，连接FN，FM.

∵N，M分别为CD1，AE的中点，

∴FN∥DD1，FM∥AD.

又∵AD∩DD1＝D，FN∩FM＝F，

∴面FMN∥面ADD1A1.

又∵MN⊂面FMN，∴MN∥面ADD1A1. 9．(2017·重庆高一检测)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．

求证：AC∥平面BPQ. 证明

连接CD1，AD1，

因为P，Q分别是CC1，C1D1的中点，

所以PQ∥CD1，且CD1⊄平面BPQ，PQ⊂平面BPQ，

所以CD1∥平面BPQ.

又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，

所以四边形ABQD1是平行四边形，

所以AD1∥BQ，

又因为AD1⊄平面BPQ，BQ⊂平面BPQ，

所以AD1∥平面BPQ.

又AD1∩CD1＝D1，

所以平面ACD1∥平面BPQ，

因为AC⊂平面ACD1，所以AC∥平面BPQ.

10．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1B上的一动点，求证：DM∥平面D1B1C. 证明

连接A1D，BD，

∵A1D1綊BC，∴四边形BCD1A1为平行四边形．

∴A1B∥D1C.同理，BD∥B1D1，

∴面A1DB∥面D1B1C.∵DM⊂面A1DB，

∴DM∥面D1B1C. 11.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF. 求证：EF∥平面BB1C1C. 证明

如图，作FH∥AD交AB于H，连接HE.

∵AD∥BC，∴FH∥BC，

又∵BC⊂面BB1C1C，

∴FH∥平面BB1C1C.

BFBH由FH∥BC，可得＝.

BDBA又BF＝B1E，BD＝AB1，

∴B1EBH＝.

AB1BA∴EH∥B1B，又∵B1B⊂平面BB1C1C，

∴EH∥平面BB1C1C.

又∵EH∩FH＝H，

∴平面FHE∥平面BB1C1C.

又∵EF⊂平面FHE，

∴EF∥平面BB1C1C. 12.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．

(1)求证：DE∥平面ABC；

(2)求三棱柱E－BCD的体积．

解析

(1)取BC中点G，连接AG，EG，如图所示．因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，

1且EG＝BB1.由ABC－A1B1C1为直三棱柱，知AA1綊BB1.又D是AA1的中点，所以EG2綊AD.

所以四边形EGAD是平行四边形．所以DE∥AG.

又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.

(2)因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE，所以VE－BCD＝VD－BCE＝VA－BCE＝VE－ABC.由(1)知，111DE∥平面ABC，所以VE－ABC＝VD－ABC＝AD·BC·AG＝×3×6×4＝12. 326

1.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(

) A．异面

B．平行

C．相交

D．以上均有可能

答案

B 解析

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，

又AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，

∴A1B1∥平面ABC.

∵过A1B1的平面A1B1ED与平面ABC交于DE，

∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.故选B. 2.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上AD的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．

DC

解析

如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.

由棱柱的性质知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．

因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，所以BC1∥D1O.

1所以D1为线段A1C1的中点，即D1C1＝A1C1.

2因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1，

平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，所以AD1∥DC1.

又AD∥D1C1，所以四边形ADC1D1是平行四边形，

11所以AD＝C1D1＝A1C1＝AC，

22AD即D为线段AC的中点，所以＝1. DC3．(2015·山东)如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.

解析

方法一：连接CD，设CD∩GF＝M，连接MH.

在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC.

所以四边形DFCG为平行四边形．

则M为CD的中点，又H为BC的中点，

所以HM∥BD.

又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，

所以BD∥平面FGH.

方法二：在三棱台DEF－ABC中，

由BC＝2EF，H为BC的中点，

可得BH∥EF，BH＝EF.

所以四边形HBEF为平行四边形．

可得BE∥HF.

在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，

所以GH∥AB.

又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.

因为BD⊂平面ABED，

所以BD∥平面FGH. 4．(2014·安徽)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.证明：Q为BB1的中点．

解析

因为BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，

所以平面QBC∥平面A1AD.

从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D.

故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，于是△QBC∽△A1AD.

所以BQBB＝BQ＝BC＝12，

1AA1AD即Q为BB1的中点．