1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）第二课时 公开课

我们一直在努力！

青海油田一中2018年5月16日

新分教师汇报课

必修二

第一章

章节整合

空间几何体体积的解法

青海省油田第一中学 朱晓燕

2018年5月16日

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新分教师汇报课

【授课内容】 空间几何体体积的解法

【授课地点】

录播室 【授课类型】

新授课 【授课班级】 高一（2）班

【学情分析】

（一）教材分析

对于空间几何体的度量问题，应对空间几何体的整体观察入手，认识空间几何体。必要的时候将不熟悉的空间几何体转化为熟悉的空间几何体，如本节内容中提到的“割补法”，对于底面或者高不好计算时，可适当的将几何体转换角度。

“立体几何”中处处渗透着数学思想，特别是化归转化思想，贯穿整个高中教学，让学生既要了解，还要学会运用。

（一）学习者分析

1.

本次授课为借班上课，二班在本年级中，学习成绩较好：

（1）二班同学学习***行班级较好，思辨能力和计算能力都相对扎实，故在例题设置上面量大，且有梯度，以便能力拔高；

（2）二班学生团队意识强烈，为激进学生的表述能力，注重小组合作，增强学生的团体意识。但是个别学生不善于独立思考，应在教学过程中循序善诱；

（3）书写不规范是本届学生普遍具有的特征，应在教学过程中规范学生的数学，进一步培养学生的严谨性和逻辑思维能力；

学习始于疑问，在不同的教学模型中，抽象出数学方法，在“观察”、“思考”、“探究”等的活动中，引导学生自己发现问题、提出问题，通过亲身实践、主动思维，经历不断从抽象到具体、从未知到已知的概括活动来理解和掌握数学基础公式和基本数学思维方法，打下坚实的数学基础.

【教学目标】 （二）知识与技能

1.

能对简单组合体进行分解，并运用公式求出简单组合体的体积；

2. 能将不规则的几何体割补为熟悉的简单几何体；

3. 能对三棱锥进行适当的换底，求其体积. （二）过程与方法

1. 让学生经历知识的构建迁移过程，培养学生观察、探究能力；

2. 通过探究不规则几何体的体积解法，掌握化归转化的数学思想；

3. 通过探究未知底面的三棱锥的体积问题，掌握将复杂转化为简单的数学方法. （三）情感态度价值观

1. 使学生进一步体会化归的思想，逐步培养他们空间想象能力、思辨能力；

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2. 利用多媒体课件的精彩演示，增强立体感，使学生几何体的空间构建，增进数

学的学习兴趣。

【教学重难点】

教学重点确立依据：根据《新课程标准》和《高考大纲》，现将本节课重点确立如下：

适当的换底求三棱锥的体积、通过割补求体积

重点突破：

1．通过画出旋转体的直观图培养学生的直观感知能力和动手操作能力；

2．积极探索，培养学生的空间想象能力和识图能力；

3．熟记公式，明确公式中的基本量，从找求基本量入手. 从而突破重点. 教学难点确立依据：根据《新课程标准》、《高考大纲》和现阶段学生的认知水平，结合本班学情和学生个体特征，现将本节课难点设立如下：

割补法求空间几何体体积

难点突破：

通过小组合作讨论，拓展思维，动手操作，直观感知，从而突破难点.

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教

师

活

动

【环节一】情境创设，引入新课

同学们，你们知道，世界上谁第一个将圆周率精确到小数点后7位吗？谁是世界上第一个推导出来球体体积公式的吗？

南朝数学家祖冲之，比欧洲人早约一千年. 【环节二】复习公式，扎实基础

问题1 柱体、椎体、台体的体积公式是什么？ 1．柱体：VSh

圆柱的底面半径为r,则体积Vrh

2学生活动

设计意图

设计意图：

从中国古代杰出人物出发，介绍数学的研究背景和历史，增强学生学习数学的兴趣，扩展知识面. 设计意图：

检验学生作业的完成情况，与上节课的内容相呼应，引出本节课的内容；

设计意图：

从已知的图形和公式出发，为“已知”奠定基础，以便后面能够将“未知”转化为“已知”.

设计意图：

引导学生由抽象到具体，通过动手操作画图，感知立体图像形成的过程，确定基本量求解空间几何体的体积.

学生提前完成导学案，个人举手回答问题。

V2．锥体：

12圆锥的底面半径为r,则体积Vrh

31VSS'SS'h3．台体：

3’1Sh3圆台上底面半径为r,下底面半径为r, 引导学生，让学生说；

观察并动手画出旋转体的直观图，在前面展示，确定基本量，从而求体积. V则体积

问题2 它们的图形有什么联系？

1r2r'2rr'h3【环节三】探索新知，总结方法

探究 1 探求组合体体积

【例一】

如图所示,在四边形ABCD,∠DAB=90°,∠ADC=135°, AB=5,CD=22 ,AD=2,求四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积.

思考：

旋转之后可形成怎样的几何体

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解：

该四边形绕AD边所在直线旋转

一周后形成一个组合.体可看做

圆台EA中间挖去一个圆锥DE，CD22,AD2,CEED2,

1V(CE2AB2CEAB)AE

AB5,AE4,BC5，因此3

181482CEDE523

33

思悟：

在求解组合体的体积时，思路方法是什么？

1. 现将组合体分解成简单几何体；

2. 利用体积公式求解相应组合体的体积.

设计意图：

①

例题在黑

板上板书，规范书写.

总结方法，求

简单组合体

的体积的方②

提问让学提炼方法，法，举手回生总结，达到举一反三的目答。

的. 总结提炼：直接运用体积公式求体积——公式法

探究 2 当几何体的底面或高不易求解

【例二】

在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别

是A1B1、A1D1、AA1上的点,且满足

31

如图,试求三棱锥A1-MNP的体积. A1M4A1B1,A1N2ND1,A1P2A1A

观察一分钟，

设计意图：

怎么处理这1.

学生观察感

个三棱锥，组知，给足思考时间，

内讨论，举手让学生有自己思维

发挥空间. 发言.

思考：

求三棱锥A1-MNP的体积，何为底面 ,何为高？好计算

吗？可以怎样转换？(三棱锥又称为四面体，任意一个面都可当做底

面)

318解：A1MA1B1,A1N2ND1,A1PA1A，A1M3，A1N，A1P2423

111188

VVAPANAM23AMNPMANP111

323233

总结提炼：对三棱锥进行换底——等体积法

2.

学生之间相互

交流，以学生的视

思考：

对于这个三棱锥，还可以怎样换底？

角看待问题、解决

可以用来解决什么问题？

学生思考，举问题，使得学生更结论：等体积转换法是针对当所给几何体的体积不能直接套用加深刻的理解问公式或涉及的某一量(底面积或高)不易求解时,可以转换一下几何手回答。

题. 体中有关元素的相应位置进行计算，该种方法尤其适用于求三棱锥

3.

加强组内和组的体积. 际交流，培养学生

原则上选取时底面积和高易求出. 的发散思维. 探究 3 不规则几何体的体积求解

11

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【例三】

如图所示,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，

剩下部分母线长的最大值为a,最小值为b，那么圆柱被截后剩下部小组内讨论，设计意图：

每道例题后面点分的体积是多少？

组长组织组评，总结规律，让

内交流，用什学生形成知识体系；培养学生善于

么方法。

总结的习惯和能力.

【小组合作】讨论

如何将这个“不规则”结合体变“规则”？

（思路：将被截去的部分还原，即“补形法”.补全为底面半径

为r，高为a+b的圆柱）

思考：

还可以怎样处理？ “分割法”

总结提炼：对于给出的一个不规则几何体,不能直接套用公式,

常常需要通过“割”或“补”化复杂图形为已熟知的简单几何体,并

做体积的加、减法,从而较快的找到解决问题的突破口.

规律总结：

设计意图：

（一）分割法的要点：

总结提炼，对于特(1)多面体尝尝切割成柱体和锥体；

殊空间几何体，可(2)将大几何体分割时,尽量分割成底面积或高容易求得的小几以将它补全为常见

何体. 的柱体和锥体，从（二）补形法的要点：

观察，如何将未度量他的相关数1.将不规则的几何体补成规则的或体积易于计算的几何体；

特殊图形具学量. 2.常见的补形

(1)将被平面所截得几何体还原；

体化，举手发

(2)将三棱锥补成平行六面体,特别是长方体或正方体；

言。

a.三条侧棱互相垂直,补成长方体 b.将正四面体补成正方体

学生观察自

己动手完成，设计意图：

【实战演练】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=2,BB1=3,学生动手操作，达求三棱锥B1-AD1C的体积. 在展台上展到精讲多练的目解：

示学生的计的，和前面讲过的

分割法和补形法相

算书写过程. 呼应，突破重难点.

长方体可分割成四个三棱锥，分别是三棱锥B1-AD1C,三棱锥B1-AA1D1

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三棱锥A-BB1C，三棱锥D1-CC1B1，

∴VB1-AD1C=V长方体-VB1-AA1D1-VA-BB1C-VD1-CC1B1=12

【环节四】能力提升，知识迁移

设计意图：

【能力训练】如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体，

图像相对抽E,F分别是棱AA1和CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积. 小组合作讨象，经历这种有抽

象到具体的过程，

论，举手发让学生将理论和实

践相结合，加强数言；

学方法和思想方法

的运用，使得学生

能力和思维都得以

提升.

思路点拨：考虑到四棱锥的高不好计算，可将四棱锥分成两个三棱锥，

换求其体积.

利用三棱锥的等体积变

【环节五】总结反思，构建体系

学生自己总设计意图：

通过本节课的学习你学到了什么？

结，从数学方1.

让学生养成总

法和数学思结经验的良好学习

习惯；

想两方面加2.

从数学方法和

数学思想两方面总以总结. 结，由方法中抽象

出思想，使得思想

升华.

数学思想：由未知到已知，将复杂化为简单——化归转化的数学

思想. 设计意图：学生独

立自主的完成作【环节六】布置作业，强化巩固

课后独立完业，巩固思维，形成知识结构。

必做题：课本P28习题A组1,2,3,4,5

成.

选做题：课本P28习题B组1,2,3

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板书设计

1.第二章专题二空间几何体体积的解法

PPT

设计意图：在板书中突出本节重点，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的

教学方法。