2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系全国优秀课堂实录

空间中直线与平面位置关系

1 教学目的

学生能够：

（1）能够学会如何判定线线、线面与面面的位置关系；

（2）通过线面与面面的位置关系，由性质得到相关线面与线线的位置关系. 教师要求：

（1）通过例题总结判定线面位置关系的方法与技巧；

（2）通过本类题型的训练，能够在此基础上进一步掌握线面关系的判定和性质。

2 教学过程

空间中直线与平面的位置关系

一、知识储备 1.证明线线平行的常用方法

①平行公理：a//b,b//ca//c；

②线面平行的性质定理：a//,a,ba//b；

③面面平行的性质定理：//,a,ba//b；

④垂直于同一个平面的两条直线平行。

2.证明线面平行的常用方法

①线面平行的判定定理：a//b,b,aa//；

②面面平行的性质定理：//,aa//；

3.证明面面平行的常用方法[来源:学科网ZXXK]

①面面平行的判定定理：a,b,abP,a//,b////；

②线面平行的判定定理的推论a,b,abP,a',b',a'b'P',a//a',b//b'//；

③垂直于同一条直线的两个平面平行；

④平行于同一个平面的两个平面平行。

4.证明线线垂直的常用方法

①以算代证：先平移到相交位置，再证明所构成的三角形的三边满足勾股定理；：

②线面垂直的性质定理：a,bab；

③三垂线定理（垂影垂斜）及其逆定理（垂斜垂影）；

④a//b,bcac。

5.证明线面垂直的常用方法

①线面垂直的判定定理：la,lb,a,b,abPl；

②面面垂直的性质定理：,l，a,ala；

③性质：a//b,ba；//,aa；

④，，ll（客观题可用）．

6.证明面面垂直的常用方法

①面面垂直的判定定理：a,a此法转化为线面垂直问题，一般找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面平行；

②性质：//,（客观题常用）；[来源:学科网ZXXK]

③证明两个平面构成的二面角的平面角为90。

二、专题训练 【例1】（2016高考新课标2理数）,是两个平面，m,n是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果mn,m,n//，那么. （2）如果m,n//，那么mn. （3）如果//,m，那么m//. （4）如果m//n,//，那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有_____________． (填写所有正确命题的编号）. 【答案】②③④

【解析】对于①，mn,m,n//，则,的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为n//，所以过直线n作平面与平面相交于直线，则n//c，因为m,mc,mn，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④. 【变式训练1】设a,b,c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：

①若a//b，b//c，则a//c；

②若ab,bc，则a//c

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；

④若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线；

⑤若a，b与c成等角，则a//b. 正确的命题是________．(写出全部正确命题的序号)

【答案】①，详见解析. 【解析】①正确，平行的传递性；

②ab,bc时，a与c可能相交、平行或异面，故②不正确；

③a与b相交，b与c相交，a与c可能相交、平行，也可能异面，故③不正确；

④a平面，b平面，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④不正确；

⑤a，b与c成等角，a与b可能相交、平行，也可能异面，故⑤不正确. 【例2】如图，在四棱锥PABCD中，CD//AB，DC试CM//平面PAD，并说明理由. DC1AB，试在线段PB上找一点M，2ABP

【答案】见解析. 【解析】解决本题有两种思路：一是找面外线平行于面内线；二是由面面平行转化为线面平行. 当M为PB的中点时，CM//平面PAD. 法一：构造中位线，线线平行→线面平行

QDCAMBP

在四边形ABCD中，设BC的延长线与AD的延长线相交于点Q，连接PQ,CM. CD//AB,QCDQBA, CQDBQA, CQD∽BQA. QCCD1.QBBA2[来源:学科网ZXXK]

C为BQ的中点. M为PB的中点，

CM//PQ. PQ平面PAD,CM平面PAD, CM//平面PAD. 法二：构造平行四边形，线线平行→线面平行

DCAFMBP

取AP的中点F，连接CM,FM,DF. 则FM//AB，FMCD//AB,CD1AB. 21AB, 2FM//CD,FMCD, 四边形

CDFM为平行四边形. CM//DF. DF平面PAD,CM平面PAD, CM//平面PAD. 法三：构造平面，线线平行→→线面平行→面面平行→线面平行

DCAEBMP

取AB的中点E，连接EM,CE,CM. 在四边形ABCD中，CD//AB,CDAE//DC，且AEDC. 四边形AECD为平行四边形. CE//DA. DA平面PAD,CE平面PAD，

CE//平面PAD. 1AB，E为AB的中点，

2同理，根据E,M分别为BA,BP的中点，得EM//平面PAD. CE平面CEM,EM平面CEM,CEEME，

平面CEM//平面PAD. CM平面CEM, CM//平面PAD. 【变式训练2】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点。

（1）证明：BC1//平面A1CD.

A1B1C1EACDB

【答案】（1）详见解析. 【解析】（1）

A1B1C1FEACDB

方法一：线性平行→线面平行

证明：连接AC1交A1C于点F，在直三棱柱ABCA1B1C1中，则F为AC1的中点，连接DF，

D为AB中点，DFBC1，//

又DF平面A1CD，BC1平面A1CD，

BC1//平面A1CD.

方法二：面面平行→线面平行

A1GC1B1EACDB

证明：取A1B1中点G，连接BG，C1G，

在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB//A1B1，且AB=A1B1，

又D为AB中点，BD//A1G，且BD=A1G，

四边形BDA1G为平行四边形，BG//A1D，

又BG平面A1CD，A1D平面A1CD，

BG//平面A1CD......①

同理，可得C1G//平面A1CD......②

由BGC1G=G，及①②得，平面BGC1//平面A1CD，

BC1//平面A1CD. 【例3】（2017重庆八中5月模拟）如图所示，正三角形ABC所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，BE//CD，BE2CD4，BEBC，F为AE的中点.

AFBCDE

（1）求证：直线AB平面CDF. 【答案】（1）详见解析. 【解析】（1）

AFBMCDE

证明：取AB中点M，连接MF，MC，因为M为AB中点，

MF//BE，MF =1BE，

21BE，

2又CD//BE，且CD=MF//CD，且MF=CD，

四边形MFDC为平行四边形，

MC//FD，

M为正三角形ABC边AB中点，CMAB，

FDAB，

又平面ABC平面BCDE，平面ABC平面BCDE=BC，BEBC

CDBC，

CD平面ABC，

CDAB，



CDFD=D，

直线AB平面CDF. 【变式训练3】（山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校2017届高三上学期第二次联考数学（理）试题）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB平面ABCD，ABAP3，ADPB2，E为线段AB上一点，且AE:EB7:2，点F、G、M分别为线段PA、PD、BC的中点. （1）求证：PE平面ABCD.

DNCMGEAFPB

【答案】（1）详见解析. 1PB12cosABPABP【解析】（1）证明：在等腰中，AB3，

213222PE222PBE在中，由余弦定理可得，3339

2222又PEBEPB，PEAB，

2又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，

PE平面ABCD；

【例4】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点. （1）求证：MN//平面A1BD. D1NC1A1B1MDCAB

【答案】：（1）详见解析. 【解析】（1）

法一：证明：

D1NC1A1B1MDCAB

如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M0,1,,N,1,1,D0,0,0,A11,0,1,B1,1,0，

11于是MN,0，,DA11,0,1,DB1,1,0，设平面A1BD的一个法向量是nx,y,z. 22xz0则nDA，n1,1,1，

10,nDB0，得xy01212又MNn,0,1,1,10，

MNn，MN平面A1BD，

MN//平面A1BD. 1212法二：证明：MNC1NC1MMN//DA1，

1111C1B1C1CDADDDA1111

2222又MN平面A1BD，DA1平面A1BD，

MN//平面A1BD. 【变式训练4】如图所示，在棱长为1的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBFx，其中0x1，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. （1）求证：A1FC1E.

O1C1B1A1OCFAEB

【答案】（1）详见解析. 【解析】（1）证明：由已知条件得，A11,0,1,F1x,1,0,C10,1,1,E1,x,0，A1Fx,1,1，C1E1,x1,1，

则A1FC1E0，A1FC1E，

即A1FC1E. 三、巩固练习

1.【2017 成都七中高三测试，4，理数】m,n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列命题正确的是（

）

A.若m,n,mn,则.

C.若,m,n//，则m//n.

【答案】B. 【解析】由m,n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，知：

在A中，若m,n,mn,则与相交或平行，故A错误；

在B中，若//,m,n//，则m，所以mn，故B正确. 在C中，若,m,n//，则m与n相交、平行或异面，故C错误. 在D中，若,m,nm，则n与相交、平行或n，故D错误. 2.【河南省新乡市2017届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】如图①所示，四边1形ABCD为等腰梯形，AD//BC，且ADBCa,BAD135,AEBC于点E,F为3B.若//,m,n//，则mn. D.若,m,nm，则n. BE的中点．将ABE沿着AE折起至AB'E的位置，得到如图②所示的四棱锥B'ADCE.

AADDEBFECB'FC

图① 图②

（1）求证：AF//平面B'CD. 【答案】（1）详见解析. 【解析】（1）

ADEB'FGC

证明：取B'C的中点G，连接FG，DG. F为B'E的中点，FG//EC，且FG=1EC，

2图①四边形ABCD为等腰梯形，AD//BC，且ADEC=2a，AD//EC，AD1BCa,AEBC，BAD135, 31EC，

2AD//FG，AD=FG，四边形ADGF为平行四边形，AF//DG，

AF平面B'CD，DG平面B'CD，

AF//平面B'CD. 底面ABCD为直角梯形，AD底面PCD，3.【2015 防城巷一模】如图，在四棱锥PABCD中，PACB，BA2AD2CD2，点E为棱PB的中点. （1）证明：平面PAC平面PBC.

PEABDC

【答案】（1）详见解析. 【解析】（1）证明：由已知可得AB2，ADCD1，底面ABCD为直角梯形，

ACBC2，AC2BC2AB2，ACBC，

由已知有PACB，又PAACA，PA平面PAC，

BC平面PAC，又BC平面PBC，

平面PAC平面PBC. 4.【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）数学（理）试题】（本小题满分15分）如图, 以BC为斜边的等腰直角三角形ABC与等边三角形ABD所在平面互相垂直, 且点E满足DE1AC. 2（1）求证：平面EBC平面ABC.

DEACB

【答案】（1）详见解析. 【解析】（1）

DEAGCHB

证明：取线段AB、BC的中点G、H，连接DG、GH，EH. ABD为正三角形，G为AB的中点，DGAB，

平面ABD平面ABC，且平面ABD平面ABC=AB，DG平面ABD，

DG平面ABC，

G、H分别为线段AB、BC的中点，GH//AC，GH1AC. 2又由已知有DE//AC，DE形，进而EH//DG，

EH平面ABC，

EH平面EBC，

平面EBC平面ABC. 1AC，故DE//GH且DEGH，从而四边形DEHG为平行四边25.如图，在直三棱柱ADEBCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点。运用向量法证明：

（1）OM//平面BCF；

（2）平面MDF平面EFCD. EOFDCAMB

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】由题意，AB,AD,AE两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

zEyOFDCAMBx

12111222设正方形边长为1，则A0,0,0,B1,0,0,C1,1,0,D0,1,0,F1,0,1,M,0,0,O,,. 11OM0,,,BA1,0,0，

（1）22OMBA0，OMBA，

棱柱ADEBCF是直三棱柱，

AB平面BCF，BA是平面BCF的一个法向量，且OM平面BCF，

OM//平面BCF. （2）设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1x1,y1,z1,n2x2,y2,z2. 1DF1,1,1,DM,1,0,DC1,0,0，

2由n1DF0,n1DM0，得

x1y1z1011nx1，令，得111,,，

1222x1y10同理可得n20,1,1，

n1n20，

平面MDF平面EFCD.

四、课后练习

1.【2017 四川巴中市零诊】设m，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：

①若m//，m//，则//；

②若m//，m//n，则n//；

③若m，m//，则；

④若m，//，则m. 其中所有正确命题的序号是（ ）

A．③④

B．②④

C．①②

D．①③

2.

正方体ABCDA1B1C1D1中，M,N,Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且BP2给出下列四个命题：①MN//平面APC；②C1Q//平面APC；③A,M,PBD1，3三点共线；④平面MNQ//平面APC.正确的序号为（

）

A.

①② B.①④

D1NMC.②③

C1D.③④

A1PB1DQCAB

3.【2017 成都七中高三半期考试11月，理数】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是ACB900，等腰直角三角形，侧棱AA12，点D,E,F分别为棱CC1,A1B,AB的中点，ABD的重心为G，直线EG垂直于平面ABD．

C1A1B1DECGAFB

（1）求证：直线CF//平面A1BD.

4.【2017 广西柳州高三模拟10月，19】如图

，在四棱锥PABCD中，AD//BC,ADCPAB90, BCCD1AD，E为棱AD的中点，PACD. 2

（1）证明：CD平面PAD.

5.

【2017重庆二诊】如图，矩形ABCD中，

AB22，

AD2，

M为DC的中点，将DAM沿AM折到DAM的位置,ADBM．

D'DMCMCABAB

（1）求证：平面DAM平面ABCM.

6.

【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，BCD120，CBCDCE1，ABADAE3，且

ECBD. （1）求证：平面BED平面AEC；

（2）M是棱AE的中点，求证：DM//平面EBC；

EDMC A

B

五：课后评价

（1）用随堂测试来评价学生的知识和对相关知识点的使用情况，检验学生是否已经掌握此法，并能正确使用，并强调注意事项；

（2）本专题有一定的难度，需要充分利用线面位置关系的判定定理和性质定理，灵活解题，综合性较强，要结合学生的实际情况选择合适难度的题目进行讲解！