3.2.2 直线的两点式方程教学设计一等奖

第三章

3.1

3.1.2

基础巩固

一、选择题

1．下列命题

①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；

②如果两直线平行，则它们的斜率相等；

③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；

④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1. 其中正确的为(

) A．①②③④

C．②④

[答案]

B [解析]

当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故④错．

2．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是(

) ①l1的斜率为2，l2过点A(1,2)，B(4,8) ②l1经过点P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x轴，但不经过P点；

③l1经过点M(－1,0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4，3)，S(0,5)．

A．①②

C．①③

[答案]

B 3．已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1)，若l1过原点O(0,0)，则l2与y轴交点的坐标为(

) A．(2,0)

C．(0,1)

[答案]

B [解析]

设l2与y轴交点为B(0，b)，

∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1. ∴kOAkAB＝－1. ∴1－0b－1×＝－1，

1－00－1B．(0,2) D．(1,0) B．②③

D．①②③

B．①③

D．以上全错

解得b＝2，即l2与y轴交点的坐标为(0,2)．

4．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)、(6，y)，且l1⊥l2，则y＝(

) A．2

C．4

[答案]

D [解析]

∵l1⊥l2且k1不存在，∴k2＝0，

∴y＝1.故选D．

5．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为(

) A．(3,0)

C．(0，－3)

[答案]

D y－1[解析]

设P(0，y)，∵l1∥l2，∴＝2，

0＋1∴y＝3，故选D．

6．已知两点A(2,0)、B(3,4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O、A、B、C四点共圆，那么y的值是(

) A．19

C．5

[答案]

B [解析]

由于A、B、C、O四点共圆，

4－04－y19所以AB⊥BC，∴·＝－1，∴y＝. 43－23－0故选B．

二、填空题

7．经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝_________. [答案]

4 [解析]

由题意，得tan45°＝a＋1，解得a＝4. 3＋219B．

4D．4 B．(－3,0) D．(0,3) B．－2 D．1 8．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，点D(m,1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝_________. 5[答案]

2[解析]

由题意得AD⊥BC，则有kADkBC＝－1，

1－23－15所以有·＝－1，解得m＝. 2m－24－0三、解答题

9．已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．

(1)求点D的坐标；

(2)试判定▱ABCD是否为菱形？

[解析]

(1)设D(a，b)，∵四边形ABCD为平行四边形，

∴kAB＝kCD，kAD＝kBC，

0－2b－45－1＝a－3∴b－24－0a－1＝3－5∴D(－1,6)．

4－26－0(2)∵kAC＝＝1，kBD＝＝－1，

3－1－1－5∴kAC·kBD＝－1.∴AC⊥BD．∴▱ABCD为菱形．

10．△ABC的顶点A(5，－1)、B(1,1)、C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．

[解析]

(1)若∠A＝90°，则AB⊥AC，kAB·kAC＝－1，

kAB＝1＋1m＋1m＋11＝－，kAC＝＝－. 231－52－5

a＝－1，解得，

b＝6

m＋11∴－×(－)＝－1，∴m＝－7. 23(2)若∠B＝90°，则BA⊥BC，kBA·kBC＝－1，

m－11kBC＝＝m－1，kBA＝－，

22－11∴(m－1)×(－)＝1，∴m＝3. 2(3)若∠C＝90°，则CA⊥CB，kCA·kCB＝－1，

m＋1m＋1m－1kCA＝＝－，kCB＝＝m－1，

32－52－1m＋1kCA·kCB＝－1，∴(－)×(m－1)＝－1，

3∴m2＝4，∴m＝±2. 综上所述，m＝－2,2，－7,3. 能力提升

一、选择题

1．下列各对直线不互相垂直的是(

)

A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1,0)，Q(4，3) 21B．l1的斜率为－，l2过点A(1,1)、B(0，－) 32C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，3)、Q(4,23) D．l1过点M(1,0)、N(4，－5)、l2过点A(－6,0)、S(－1,3) [答案]

C [解析]

A选项中，k1＝tan120°＝－3，k2＝3，k1·k2＝－1，故l1⊥l2；B选项中，k13233＝－，k2＝，k1·k2＝－1，故l1⊥l2；C选项中，k1＝tan30°＝，k2＝3，k1·k2≠－1，故32353l1与l2不垂直；D选项中，k1＝－，故k2＝，k1·k2＝－1，故l1⊥l2. 352．若直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2，且l1⊥l2，则(

) A．α1－α2＝90°

C．α1＋α2＝180°

[答案]

D [解析]

如图，如图可知|α1－α2|＝90°. B．α2－α1＝90°

D．|α1－α2|＝90°

3．已知，过A(1,1)，B(1，－3)两点的直线与过C(－3，m)，D(n,2)两点的直线互相垂直，则点(m，n)有(

) A．1个

C．3个

[答案]

D [解析]

∵由条件知过A(1,1)，B(1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB⊥CD，∴kCD2－m＝0，即＝0，得m＝2，n≠－3，∴点(m，n)有无数个．

n＋34．(2013·辽宁)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(

) A．b＝a3 1C．(b－a3)(b－a3－)＝0 a[答案]

C [分析]

△OAB为直角三角形，没有指明哪个角为直角，所以要对A，B，O角分别为直角进行讨论，利用斜率的定义，两条直线相互垂直的条件找出参数，a，b的关系．

[解析]

显然角O不能为直角(否则得a＝0，不能组成三角形)．

1B．b＝a3＋

a1D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0 aB．2个

D．无数个

若A为直角，则根据A，B纵坐标相等，所以b－a3＝0. 1若b为直角，则利用kOBkAB＝－1，得b－a3－＝0. a二、填空题

5．直线l过点A(0,1)和B(－2,3)，直线l绕点A顺时针旋转90°得直线l1，那么l1的斜率是_______；直线l绕点B逆时针旋转15°得直线l2，则l2的斜率是_______. [答案]

1

－3

3[解析]

∵kAB＝－1，∴直线l的倾斜角α＝135°. (1)∵l1与l垂直，∴kl1＝1.

(2)∵∠ABC＝15°，∠CDB＝135°，

∴∠β＝135°＋15°＝150°，

∴kl2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－3. 36．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝_________；若l1∥l2，则b＝_________. 9[答案]

2

－

8[解析]

当l1⊥l2时，k1k2＝－1，

b∴－＝－1.∴b＝2. 2当l1∥l2时，k1＝k2，

9∴Δ＝(－3)2＋4×2b＝0.∴b＝－. 8三、解答题

7．直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．

[解析]

当l1∥l2时，

由于直线l2的斜率存在，则直线l1的斜率也存在，

4－1m＋1－m则kAB＝kCD，即＝，解得m＝3；

－3－m－1－1当l1⊥l2时，

由于直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则kABkCD＝－1，

即4－1m＋1－m9·＝－1，解得m＝－. 2－3－m－1－19综上，当l1∥l2时，m的值为3；当l1⊥l2时，m的值为－. 28．已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．

[分析]

分类讨论直角梯形ABCD的腰和底，利用直线平行和垂直的斜率关系解决．

[解析]

(1)如下图，当∠A＝∠D＝90°时，

∵四边形ABCD为直角梯形，

∴AB∥DC且AD⊥AB．

∵kDC＝0，∴m＝2，n＝－1. (2)如下图，当∠A＝∠B＝90°时，

∵四边形ABCD为直角梯形，

∴AD∥BC，且AB⊥BC，∴kAD＝kBC，kABkBC＝－1.

n－22－－1m－2＝4－5，∴n＋12－－1m－5·4－5＝－1，168解得m＝，n＝－. 55168综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－. 55