2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学设计内容推荐

2.1.3

空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.4

平面与平面之间的位置关系

目标定位

1.掌握直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.掌握平面与平面之间的两种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.

自

主

预

习

1.直线与平面的位置关系

位置关系

直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

2.两个平面的位置关系

位置关系

平面α与平面β平行

平面α与平

面β相交

α∩β＝l

有一条公共直线

图形表示

符号表示

α∥β

公共点

没有公共点

定义

有无数个公共点

有且只有一个公共点

没有公共点

a∥α

图形语言

符号语言

a⊂α

a∩α＝A

即

时

自

测

1.判断题

(1)若直线a在平面α外，则直线a∥α.(×) (2)若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥β.(×) (3)若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β.(√) (4)与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面.(×) 提示

(1)直线a在平面α外，则直线a∥α或a与α相交.

(2)α与β可能平行，也可能相交.

(4)若α∩β＝b，且a∥b，则有a∥α且a∥β，或a⊂α，或a⊂β. 2.若直线l与平面α不平行，则(

) A.l与α相交

B.l⊂α

D.以上结论都不对

C.l与α相交或l⊂α

解析

若l与α不平行，则l与α相交或l⊂α.

答案

C 3.若两个平面互相平行，则其中一个平面内的一条直线与另一个平面的位置关系是(

) A.线面平行

C.线在面内

B.线面相交

D.无法确定

解析

两面平行时，两个平面没有公共点，在一个平面的直线与另一个平面也没有公共点，所以它们平行.

答案

A 4.两条直线不相交，则两条直线可能平行或者异面；如果两个平面不相交，则两个平面________. 解析

两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行或相交.

答案

平行

类型一

直线与平面的位置关系(互动探究) 【例1】

以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是(

) A.0 [思路探究] 探究点一

空间中直线与平面的位置关系有哪几种？

提示

空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行. 探究点二

判断直线与平面的位置关系的策略是什么？

提示

判断直线与平面的位置关系时可借助几何模型判断，通过特例排除错误命题.对于正确命题，根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断.要注意多种可

B.1

C.2

D.3

能情形. 解析

如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.

答案

A 规律方法

1.本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行.

2.判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法. 【训练1】

下列命题：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α

②若直线a在平面α外，则a∥α

③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α

④若直线a∥b，直线b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线

其中假命题的序号是________. 解析

对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，∴①是假命题；对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，∴②是假命题；对于③，

∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴③是假命题；对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题. 答案

①②③

类型二

平面与平面的位置关系

【例2】

给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是(

) ①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β

的距离相等，则α与β平行；④若两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交或重合. A.0

B.1

C.3

D.4 解析

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，在平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E，F，连接EF，则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；

对于②，在正方体ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D中，与A1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故②是错误的；

对于③，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别取AA1，DD1，BB1，CC1的中点E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距离相等，而△A1BC与平面EFHG相交，故③是错误的；

对于④，两平面位置关系中不存在重合，若重合则为一个平面，故命题④错. 答案

A 规律方法

(1)判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体(或正方体)进行判断.

(2)反证法也用于相关问题的证明. 【训练2】

如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(

) A.平行

C.平行或相交

B.相交

D.不能确定

解析

如图所示，由图可知C正确.

答案

C [课堂小结]

1.空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式

直线与平面相交（直线与平面有唯(1)点的个直线与平

一公共点）

数分类面不平行直线在平面内（直线与平面有无数

公共点）按公共直线与平面平行（直线与平面没有公共点）直线与平面相交

(2)在平面直线在平面外内分类直线与平面平行2.判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法.

1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

) A.一条直线不相交

C.无数条直线不相交

B.两条直线不相交

D.任意一条直线不相交

按是否直线在平面内解析

直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点. 答案

D 2.若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是(

) A.平行

B.相交

C.异面

D.不确定

解析

∵M∈平面α，M∈平面β，∴α与β相交于过点M的一条直线. 答案

B 3.下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β. 其中错误命题的序号为________. 解析

对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.

答案

①②

4.如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？

解

∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行. ∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，

∴平面ABC与平面ABB1A1相交. 同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.

基

础

过

关

1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是(

) A.b∥α

C.b⊂α

B.相交

D.b⊂α、相交或平行

解析

如图所示，选D.

答案

D 2.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是(

) A.平行

C.平行或相交

B.相交

D.AB⊂α

解析

结合图形可知选项C正确.

答案

C 3.α、β是两个不重合的平面，下面说法正确的是(

) A.平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β

B.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β

C.若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β

D.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β

解析

A、B都不能保证α、β无公共点，如图①；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图②；只有D说明α、β一定无公共点，故选D.

答案

D 4.若a与b异面，则过a与b平行的平面有________个. 解析

当a与b异面时，如图，过a上任意一点M作b′∥b，则a与b′确定了唯一的平面α，且b∥α，故过a与b平行的平面有1个.

答案

1 5.空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条. 解析

以打开的书页或长方体为模型，观察可得结论.

答案

1或3 6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？

(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；

(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；

(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；

(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系. 解

(1)AM所在的直线与平面ABCD相交. (2)CN所在的直线与平面ABCD相交. (3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行.

(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交. 7.已知一条直线与一个平面平行，求证：经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内. 解

已知：a∥α，A∈α，A∈b，b∥a.求证：b⊂α. 证明

如图，∵a∥α，A∈α，∴A∉a，

∴由A和a可确定一个平面β，则A∈β，

∴α与β相交于过点A的直线，设α∩β＝c，

由a∥α知，a与α无公共点，而c⊂α，∴a与c无公共点. ∵a⊂β，c⊂β，∴a∥c.又已知a∥b，且A∈b，A∈c，

∴b与c重合.∴b⊂α. 能

力

提

升

8.以下四个命题：

①三个平面最多可以把空间分成八部分；

②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；

③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；

④若n条直线中任意两条共面，则它们共面. 其中正确的是(

) A.①②

B.②③

C.③④

D.①③

解析

对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③. 答案

D 9.在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有(

) A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

解析

如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.

答案

B 10.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号). ①不可能只有两条交线

②必相交于一点

③必相交于一条直线

④必相交于三条平行线

解析

空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点. 答案

①

11.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.

解

平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：

∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，

∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l. 又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β. ∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，

且P，C是不同的两点，

∴直线PC就是平面ABC与β的交线，

即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，

∴平面ABC与β的交线与l相交. 探

究

创

新

12.试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？

解

三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分.