3.1.2 导数的概念PPT及课堂实录内容

《变化率与导数的概念》（第1课时）教学设计

一

内容和内容解析

1.教学内容

本节课是人教A版数学选修2-2第一章第1.1节的内容，具体内容包括：变化率问题、导数的概念及导数的几何意义等.本节课的内容是变化率问题和导数的概念两课时的整合.这样安排是基于以下两点，一是平均变化率和瞬时变化率是为了导数的引入作铺垫的过渡性概念，两节内容一起讲授能让导数概念的形成更自然流畅.二是学生已在高一学过了平均速度和瞬时速度，具备了一定的认知基础，有能力接受两课时的内容.

2.地位与作用

导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用.它是函数一章学习的延续和深化，也是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具.具有相当重要的地位和作用.

一般地，导数概念学习的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义.因此，本课对导数概念的引入从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数.导数概念的建立分为两个阶段，第一阶段：从已有的物理知识出发，将平均速度抽象为一般的表达式，再转化为数学问题得出平均变化率的概念.第二阶段：从物理上瞬时速度的实验出发，让学生感受时间间隔无限小，平均速度趋近瞬时速度的过程.用类比的思想方法，经历从平均变化率到瞬时变化率的过渡，体会逼近的思想方法.最后建立导数的概念.

二

目标和目标解析

1.能陈述函数平均变化率的概念，并用之解释生活中的现象，体会数学知识来源于生活又服务于生活；

2. 理解导数的概念，体会逼近思想方法，体会数学概念形成的“归纳——演绎”模式. 3.了解导数创立的背景，了解数学史，感受数学文化，渗透数学抽象、逻辑推理等核心素养.

三

教学问题诊断分析

1.学生熟悉平均速度，但要用更为抽象的平均变化率去解释生活现象，从实例中抽象出数学问题的本质，比如用气温平均变化率来刻画气温的骤降，学生不一定表达的清楚. sy2.课堂以高台跳水问题为主线，从物理上的lim类比到数学上lim，完成平均变化率

t0tx0x到瞬时变化率的过渡，最后建立导数的概念.整个过程中采用的逼近思想方法，虽然学生在二分法求零点中虽有所接触，但并不深刻，运用起来会有一定的难度. 基于以上分析，本节课的重点是：感受数学与生活的联系，知道瞬时变化率就是导数，体会导数概念形成过程中蕴含的思想——无限逼近思想. 本节课的难点是：运用平均变化率将生活现象数学解释；导数概念的建立，即如何想到从平均变化率过渡到瞬时变化率，及过程中“逼近”思想的体会.

1

四

教学支持条件分析

1.学情分析

本课授课对象是高二理科班的学生，数学基础扎实，思维较活跃，物理学科上有求平均速度和瞬时速度的经验，但在抽象概括能力、语言的规范表达及书写的规范上还有待进一步提升．

2.本课采取“启发探究”模式

教师的教法注重活动的安排和问题的引导，在学生最近发展区提出问题，通过问题引导学生感受知识的发生发展过程，并归纳概括．

学生的学法注重独立思考、合作交流、归纳建构．

教具:多媒体（投影仪）、PPT课件、几何画板. 学具:教材、草稿本、笔.

五

教学过程设计

结合教学知识内容和教学目标,本课的教学环节流程及大致时间分配如下:

情景引入

激发兴趣（3min）

归纳类比

形成概念

（7min）

探究发现

升华概念

（22min）

巩固概念

归纳小结

（8min）

设计意图

以牛顿故事引入激发学生学习兴趣和积极性，高台跳水运动是学生们喜闻乐见的体育比赛项目，

从学生熟悉的物理问题出发，让学生更容易接受，感受学科间的联系.

教学内容

一、情景引入

激发兴趣

(1)通过牛顿，介绍微积分的创立背景和作用

(2)播放里约奥运会我国跳水运动员秦凯的跳水场景

问题1

如果我们用运动员在某段时师生活动（预设）

师：微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就，实际上牛顿是为了解决运动问题才创立了这种和物理概念直接联系的数学理论.导数是微积分的核心概念之一,是研究函数增减、变化快慢、最值问题的有效工具；在实际生活中也有着极其广泛的作用.

师：起跳后运动员相对水面的高度是随时间的变化而变化的，函数是刻画现实世界运动变化规律的模型. 人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位:m）与起跳后的时间t(单位:s )存在函数关系 h(t)4.9t26.5t10

学生：根据物理知识通过手工计算得到：当0t0.5，h(0.5)h(0)v4.05(m/s);

0.502

当1t2，间内的平均速度v描述其运动状态，h(2)h(1)v8.2(m/s);

那么：在0t0.5和1t2这两段21时间里，运动员的平均速度是多少? 学生阐明平均速度的物理意义：0t0.5时间内运动员上升了这两个平均速度的物理意义是什1t2时间内运动员下降了2.025m，么？

8.2m.

通过计算和物理意义的分析，让学生直观感知运动变化过程是有快慢的.平均速度描述了位移在时间段内变化的快慢，

二、归纳类比

形成概念

问题2 在t1tt2这段时间里v又怎么写？

h(t)h(t1)位移的增加量v2

t2t1时间的增加量把位移看作时间的函数，上式也可写函数值的增加量成

自变量的增加量

问题3 如何从数学角度来刻画温度的“骤降”？ 成都市11月6日-11月19日每日最高气温

学生直接回答，教师指出其为位移增加量与时间增加量的比值，类比到函数值与自变量的关系式，自然引出平均变化率的概念

师：在数学中，我们把这个比值叫做平均变化率. ．．．．．师板书：函数f(x)在区间[x1,x2]上的f(x2)f(x1)平均变化率为

x2x1习惯上xx2x1,yy2y1,则

yf(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)xx2x1x

师：平均变化率刻画了函数值在区间上变化的快慢，平均速度是平均变化率在物理是的意义，刻画了位移随时间变化的快慢

3

渗透特殊到一般，从具体到抽象的思想方法.也为归纳函数平均变化率的概念提供了”认知基础”.

让学生在已认知结构的基础上建构新知识，达到概念的自然形成.

指出平均变化率的实质，并说明平均速度是平均变化率的物理意义，从物理中来，但为抽象的数学模型

对生活现象的数学解释，从实际问题抽象出数学的本质，加强

生：17号到19号气温平均变化率为时间11月7日11月17日11月19日4oC/天，7号到17号气温平均变化日最高气温26oC9oC18oC率为0.8oC/天，17号到19号的平均变化率值更小所以气温降得更多，我们感觉更冷.

抽1到2个学生举例，教师注意指出

问题4 你能举例说明用平均变化率学生举例中的变量间的关系，描述的正确性.学生说完还可以补充比如成来表示的其它生活现象吗？

都市房价、国民生产总值GDP等，最

后总结生活从来不缺少数学，只会缺

少发现数学的眼睛.

三、探究发现

升华概念

问题5

为什么说任意一点的瞬时速度可以表示为与该点相邻的两点之间的平均速度？

师：通过高度和时间的函数图象可以65看到，t0和t时的高度是一样49的，这个时间段内的平均速度为---. 生：0 师：但显然运动员并非是静止的.

这说明用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题? 生：不准确. 师：平均速度能粗略地反映运动员在某段时间内的运动状态，却不一定能反映他在某一刻的瞬时速度，物理上是怎么求瞬时速度的呢？

PPT呈现打点计时器、纸带及实验求瞬时速度的结论.

打点计时器的时间间隔为0.02s，学生在高一时虽然有操作实验，且物理上一直这么计算，但未必对其中的原理说清楚，若没有学生说出，教师强调时间间隔加以引导，若有学生说出时间间隔取的非常小时平均速度近似看学生对平均变化率的理解.同时让学生感受到数学与生活的联系.

在问题3的基础上让学生自己举例，考察学生对知识的迁移能力，生活的观察力，进一步感受生活处处有数学.

使学生初步感受平均变化率的不足，让学生感受进一步探究、学习的必要性.激发进一步探求新知的欲望. 完成平均速度到瞬时速度的过渡.

通过已做过的物理实验回顾，让学生自己归纳提炼出时间间隔取的非常4

作瞬时速度这一原理，教师再强调当时间间隔更小时，平均速度就更接近瞬时速度，当时间间隔无限小时，平均速度就无限接近瞬时速度.

问题6

求运动员t2时的瞬时速在问题5的分析上，鼓励学生提出如度？

何求t2时的瞬时速度，即求2s附近完成下列表格. 的平均速度.教师提出给2附近区间，t0时，

t0时，区间为

t0时，[2t,2]，在[2，2t]这段时间内在[2t,2]这段时间内t0时，区间为[2，2t]，师生共同v

v

书写平均速度表达式当t0.01时，v

当t0.01时，v

h(2t)h(2)v，学生分组讨论完当t0.001时，v

当t0.001时，v

t……

……

成表格.

（2）观察表格数据，结合几何画板

的演示，你发现了什么规律？

学生分组讨论，教师巡视，由于得出（3）你认为t2时的瞬时速度是多平均变化率的概念后没有数学实例让少？为什么？

学生练习运算化简，所以这个地方学

生对利用函数关系式先化简平均速度

表达式会不熟练，教师巡视过程中对

学生操作情况加以提醒和指导.选择

完成较快的小组展示表格内容.

再用几何画板演示t连续性变化时，从2的左右逼近2的时候，v

2的右侧逼近2的左侧逼近取值的变化. 2+t=1.999992+t=2.00001t=–0.00001t=0.00001

h(2)-h(2+t)h(2+t)-h(2)–13.09995==–13.100052-(2+t)t学生回答问题（3）：t2时的瞬时速度就是13.1，当时间从2的左右逼近AC的时候平均速度逼近13.1，时间越接

近2，平均速度就越接近13.1.

师:瞬时速度就是平均速度的极限值，

这种无限逼近思想，我国古代数学中

就有了，战国时代的《庄子·天下篇》

中的“一尺之棰，日取其半，万事不

竭”和“二分法”求零点的原理.

t0当时，

h(2t)h(2)v13.1

t

11.522.533.5

小时平均速度近似看作瞬时速度这一原理，初步感受“逼近”思想.

先分析物理上的近似求值原理，再到数学上精准求值，培养学生提出问题，思考问题，解决问题的能力.

比较和抽象概括的能力，让学生充分经历从平均速度到瞬时速度的探究过程，再次体会“逼近”思想

通过具体取值的计算和几何画板的演示，学生容易得出t趋近于0时，瞬时速度趋近于确定值13.1.

引入古代数学，让学生体会到我国古代数学的智慧，渗透数学文化.

5

为了表述方便，我们用h(2t)h(2)t0tlim(13.14.9t)13.1limt0

表示“当t2,t趋近于0时，平均速度v趋近于确定值-13.1”

问题7

运动员在某个时刻t0的瞬时生：用t0代替2，通过类比可得速度如何表示？

问题8

物理中的瞬时速度在数学上h(t0t)h(t0)

t0tlim

一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是：

f(x0Δx)f(x0)



ylimlim

x0x0

x

x叫瞬时变化率，对于一般函数f(x)在称为函数yf(x)在处xx0的导数，xx0处的瞬时变化率如何表示？

记作f(x0)或y|xx0，即

f(x0)limx0f(x0Δx)f(x0)

.



x概念理解：

（1）瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称. （2）f(x0)的值与x0的值有无关系？

（3）f(x0)的值与x的具体取值有无关系？

6

将问题一般化，从特殊到一般，符合学生的认知规律，提高他们的思维能力，

使得瞬时变化率的概念获得“原型”支持，形成概念的模式直观

引导学生舍弃具体问题的实际意义，抽象为数学属性，在知识的迁移下，学生能顺利地表示出一般函数在某点处的瞬时变化率，即导数，实现认识上的飞跃.

四、巩固概念

归纳小结

问题9

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第xh时, 原油的温度(单位:0C)为

学生独立完成，教师巡视，注意学生书写规范，选一份好的答卷借用投影仪让学生自己讲解，再投一份不规范的（如省略化简过程，漏写极限符号等）让其他学生完善，教师强调求导可以分两步：先求平均变化率再加极限符号求瞬时变化率及导数.

在学生自主小结，导数形成过程是由平均速度到瞬时速度类比到平均变化率到瞬时变化率，瞬时变化率即为导数.体会的思想有类比、由特殊到一般、逼近思想等.求导数可以分为两步先求平均变化率再取极限值. 教师总结：本节课我们从物理出发，看到了数学与物理的联系，数学与生活的联系，又高于物理得到了更为抽象的描述生活现象的数学模型. 课前我们说到牛顿创立了微积分，他是从运动学，即瞬时速度的方向研究，而德国的几何学家莱布尼茨也是微积分创立人之一，他是是在几何学角度去研究的.导数在几何的角度是如何表示的呢？下节课我们将继续探讨.

此题为教材例题，原题目问的是计算第2h和6h的瞬时变化率，改为让学生直接计算f(2)和f(6)，让学生熟练导数书写形式，加深对概念的理解，巩固导数的计算过程及其内涵意义.

通过小结帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，更好地理解本节课的知识和思想方法.

以牛顿开始，莱布尼茨结束，首尾呼应，承上启下，让学生了解相关的数学史和教材知识的来源背景,激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学文化素养.

f(x)x27x15(0x8). 计算f(2)和第f(6),并说明它们的意义.

回顾本节课的知识回答

问题10

（1）导数形成的过程是什么？你从中体会到了哪些思想方法？

（2）导数的概念是什么？用导数的定义求导数，一般可分为几个步骤？

（3）学完本课，你有什么感想和收获？

7

六

目标检测设计

在本节课的教学中，为了达成教学目标，我注意了教学环节的设计与教学目标的达成相呼应.做到目标确定环节，在环节中确定目标，本节课的教学目标达成情况如下：

归纳类比

探究发现

巩固概念

情景引入

形成概念

升华概念

归纳小结

激发兴趣

教学目标1 教学目标2 教学目标2

教学目标3

课后检测与延伸

（1）

教材第10页习题1.1中的第1，2，3，4题；

1（2）

已知函数f(x)x2,h(x),g(x)x，分别计算f(1),h(1),g(1)的值; x（3）利用各种媒体了解微积分的发展史. 【设计意图】（1）通过习题1.1的第1题，感受平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵；

第2，3，4题是对了解导数的定义及熟悉其符号表示的巩固；

（2）理解导数的定义并会用定义求解某点处的导数值；

（3）让学生了解微积分的发展史，感受数学家坚忍不拔的奋斗精神，渗透数学文化，发展数学核心素养．

七

板书设计

变化率与导数的概念

一、平均变化率

xf(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)x2x1xy



PPT展示区

t0时，[2t,2]

t0时，[2，2t]

vh(2t)h(2)

t

二、瞬时变化率—导数

当tv0时，

h(2t)h(2)13.1

t

f(x0)limx0f(x0Δx)f(x0)

.

xh(2t)h(2)

tlim(13.14.9t)13.1t0limt0

h(t0t)h(t0)h(t0)

t0tlim

8

八

课后反思

1.教材的重组与整合

“对一种生活现象的数学解释”是教科书介绍数学知识的切入角度，不仅可以激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是有用的.本节内容教材在例题和习题中都使用了大量的实例，让学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念.对于教材中的问题1学生虽然熟悉气球但并不熟悉什么是膨胀率，所以本课直接以高台跳水运动为主线，从学生已有的物理知识出发，由平均速度类比到平均变化率得出概念，再用平均变化率去解释最近气温的骤降，最后由学生自己举例平均变化率在生活中的应用.不仅加强学生对平均变化率的理解，从实际问题抽象出数学的本质，同时让学生感受到数学与生活的联系.这一环节取得了较好的课堂效果.

教材在得出平均变化率的概念后在“思考？”中提及了平均变化率的几何意义即割线斜率.本节课是整合了前两课时的内容，第三课时是导数的几何意义.本课的主要内容是得出导数的概念，故没有提及平均变化率的几何意义.

课堂检测使用的教材例1，原题最后问的是计算第2h和6h的瞬时变化率，为了让学生熟练导数的书写形式加深对概念的理解将其改为了计算f(2)和f(6). 2.设计问题串，激活学生思维

美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始的”.课堂以问题驱动、层层铺垫，符合学生的最近发展区，帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识. 3.浸润数学文化，发展核心素养

《中国学生发展核心素养》总体框架中谈到，“文化是人存在的根和魂”，文化基础包括“人文底蕴”、“科学精神”，本课内容承载着这两个要素.微积分的创立是十七世纪最卓越的数学成就，而导数是微积分的核心概念之一，本课以牛顿引入，莱布尼茨结束，课堂中理解逼近思想提到了古代数学，课后让学生了解微积分的发展史，旨在让学生了解相关的数学史和教材知识的来源背景,激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学文化素养. 4.改进之处

（1）得出平均变化率的概念后没有数学实例让学生练习运算化简，在求t2时的瞬时速度讨论环节时，多数学生表现出对利用函数关系式先化简平均速度表达式不熟练，部分学生选择直接代入数值计算，在学生讨论过程中，教师不得不强调提醒先化简表达式. （2）对学生的评价有待进一步的提高，语言较为单一，其中有同学用平均变化率解释股市行情由于教师自身知识的匮乏没有能很好的给予评价.

9