2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系名师课堂实录

2.2.1 直线与平面平行的判定

一、教学背景分析： （一）教材地位与作用 认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力，运用图形语言进行交流的能力以及几何直观读图的能力是高中立体几何必修课程的基本要求。而平行问题是高中立体几何的重要内容之一。《直线与平面平行的判定》是人教版高中《数学》必修②中的第二章第二节的第一课时；是在学生认识了解了空间几何体的结构以及学习线、面位置关系之后结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认归纳出直线与平面平行的判定定理。是学***行关系的第一条判定定理；也是立体几何学习中的第一条定理；是学生进一步研究空间中平行关系和垂直关系的基础，因此直线与平面平行的判定有着非常重要的地位和作用。通过本节课的学习对培养学生的观察能力、探索能力、分析归纳能力、逻辑推理能力、空间转化能力和解决问题的能力都有着十分重要的作用。 （二）学情分析

学生刚开始接触立体几何，从平面几何到空间立体几何的过渡即从二维到三维，学生在学习上可能会有些困难，空间转化能力有待提高。而且学生学习的主动意识不强，自主探究能力和概括能力也有待提高， （三）设计思想

本节课的设计遵循“直观感知——操作确认——归纳总结”的认识过程，注重引导学生通过自己观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动，再进行演绎推理，逻辑论证。在这个过程中，注重对典型的实例的多角度认识直线和平面平行的判定方法，让学生通过自主探索、合作交流，进一步认识和掌握空间图形的性质，积累数学活动的经验，发展合情推理、发展空间观念与推理能力。

（四）教法分析和学法指导

在本课的教学设计中，主要采用“直观感知——操作确认——思辩论证”的探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。引导学生学习方式发生转变，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。在学习方法上，指导学生：通过实例启发学生得到直线与平面平行判定定理，让学生进一步理解数形结合思想，产生主动运用的意识；通过解题思路的脉络分析，对学生进行解题思路的指导；通过对学生发言的点评，规范语言表达，指导学生进行交流和讨论。

（五）教具设备：多媒体

二、本课教学目标、重点、难点

（一）教学目标

1．知识与技能目标：

（1）、掌握空间直线和平面的位置关系，理解直线与平面平行的含义。

（2）、掌握直线和平面平行的判定定理。

2．过程与方法目标：

（1）、通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面平行判定的定理，

（2）、并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念与空间想象能力。

3．情感态度与价值观目标：（1）通过学生的自主探究，让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣和自信心，

（2）培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。

（二）、教学重点与难点

重点：判定定理的引入与理解

难点：判定定理的应用及立间立体几何空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

三、教学过程设计

（一）创设情境

提问1：空间中直线a和平面有哪几种位置关系？并完成下表：

位置关系

直线a在平面直线a和平面直线a和平面相交

内

平行

公共点

符号表示

图形表示

[设计意图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备。] （二）建构数学

1、直观感知

问题：同学们能列举出日常生活中直线与平面平行的具体事例吗？

[设计意图：此处的预设与生成应当是很自然的，让学生从生活中的实例感受直线与平面平行。] 2、动手实践

问题1：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。

（抛出问题让学生思考，讨论，答案可能会五花八门。老师再启发引导）

问题2：在生活中，注意到门扇两边是平行的。当门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面有什么样的位置关系？

(由学生到教室门前作演示) 问题3：将一本书水平放在桌面上，翻动书的硬皮书面，封面边缘所在的直线与桌面具有什么样的位置关系？

（由学生动手操作）

[设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。] 3、探究思考

问题1：上述演示了直线与平面平行关键是什么因素起了作用呢？

通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线 ②平面内一条直线 ③这两条直线平行

问题2：如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗？

4、归纳确认：

（由学生总结）

直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。

简单概括：（内外）线线平行线面平行

a a符号表示： bba||

图形语言

a||b

友情提示：1.线面平行的判定定理的数学符号表示其中三个条件缺一不可 2. 线线平行线面平行，线线平行是条件的核心

作用：判定或证明线面平行。

关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行。

思想：空间问题转化为平面问题（线//线线//面）

（三）数学应用

1、辨析讨论

(1)判断下列命题的真假？说明理由：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行；

2过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行

○③过平面外一点只能作一条直线与这条平面平行

4直线a和平面平行，则直线a平行于平面内任意一条直线；

○⑤直线a和平面平行，则平面中必定存在直线与直线a平行．

(2)若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是( ) A、a ||

B、a C、a ||或a

D、a

[设计意图：设计这组问题目的是强调定理中三个条件的重要性以及深化理解线面平行判定定理。提高学生的空间想象力。这时教师要引导学生思考，让学生想象的空间更广阔些。教师可适当举出反例]

A2、证明：

例1 :

求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另两边的平面。

EF已知:如图空间四边形ABCD中，E,F分别是AB，AD的中点

求证：EF//平面BCD DB分析：利用中位线定理，可以得到EF//BD C引导学生思考后，师生共同完成，书写要规范

例2：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC与C1D1中点，

求证：EF || 平面BDD1B1 FD1C1分析：根据判定定理必须在平面BDD1B1内找(作)一条线与EF平行，联想到中点问题找中点解决的方法，可以取BD或B1D1中点而证之。

A1B1思路一：取BD中点G连D1G、EG，可证D1GEF为平行四边形。思路二：取D1B1中点H连HB、HF，可证HFEB为平行四边形。

DC

E

BAC1C1D1D1FF

H

A1A1B1

B1

DCD

LEG。

EB

AKJ

[设计意图：设计二个证明题，目的是通过问题探究、讨论，思辨，及时巩固定理，运用定理，培养学生的识图能力与逻辑推理能力。] 反思1：线线平行线面平行

反思2：运用定理的三个条件：面外，面内，平行

反思3：线面证明关键找平行线，找平行线常用方法：三角形中位线或构造平行四边形

3.能力提高

例3.一个木块如图，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开，使截面平行VB和AC，应该怎V样划线？

F分析：先过P作出与ＡＣ平行的线ＥＦ，

P过Ｅ作ＥＨ与ＶＢ平行

EGC过Ｆ作ＦＧ与ＶＢ平行，连接GH得到截面

B

H

A

[设计意图：能初步运用直线与平面平行解决实际的问题，提高学生应用意识。既可以调动学生学习数学的积极性，也可以进一步使学生掌握本节课的知识，为后面学习打下基础。] ４．练习

练习 1：见课本31页练习1、2 练习2：.如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，

P

Q为PA中点. 求证：PC//平面QBD Q

D

A

B

[设计意图：设计这组练习，目的是为了巩固与深化定理的运用，特别是通过练习2的训练，让学生能在复杂的图形中去识图，去寻找分析问题、解决问题的途径与方法，以达到逐步培养空间感与逻辑思维能力。] （四）课堂小结

先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体展示）：

1、线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。

aba|| 2、定理的符号表示：a||b

简述：（内外）线线平行则线面平行

3、定理运用的关键是找（作）面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。

４．数学思想：空间问题平面化的思想

（五）课后作业

P56 1，2 P61习题1，2（2）3 [设计意图：及时巩固本节课所学的知识，能初步运用知识解决一些关于直线与平面平行的问题]

C

（六）板书设计

[设计意图：条理清晰，把本节课的重点、难点写在黑板最突出的地方，便于不断强化学生对本节课知识的掌握，留有学生的练习区供学生巩固知识用。]

（四）教学设计特色说明

我在本节课的处理上也作了相应调整，借助多媒体辅助教学，采用“直观感知——操作确认——归纳总结”的探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合。整个教学过程遵循“感知——观察——操作确认”的认知规律，注重发展学生的合情推理能力，降低几何证明的难度，同时，加强空间观念的培养，注重知识产生的过程性，具体体现在以下几个方面：

1.线面平行的位置没有直接给出，而是让学生在对图形、实例的观察感知基础上，借助动手实践和观察帮助学生概括得出，并通过辨析问题深化对位置的理解。这样就避免了学生死记硬背概念，有利于理解数学概念的本质。

2. 归纳出线面平行的判定定理不要求证明，在教学中，通过创设问题情境引起学生思考，安排试验，讨论交流，给学生充分活动的时间与空间，帮助学生从自己的实践中获取知识。教师尽量少讲，学生能做的事就让他们自己去做，使学生更好的参与教学活动，展开思维，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

3.为更好地巩固判定定理，设置了有梯度的例题，有助于培养学生的发散思维，使学生在不同的几何体中体会线面平行关系，发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力。同时，在教学中，始终注重训练学生准确地进行三种语言（文字语言、图形语言和符号语言）的转换，培养运用图形语言进行交流的能力。

４．定理的探求与认识过程的设计始终贯彻直观在先，感知在先，学自己身边的数学，感知生活中包涵的数学现象与数学原理，体验数学即生活的道理。

直线与平面平行判定

1．直线与平面例1 例2：

位置

例３

2．直线与平面

平行定义

学 生 练 习 区

3.直线与平面

平行判定