1.2.3 空间几何体的直观图第二课时教案

§8.1

空间几何体及其表面积、体积

1．空间几何体的结构特征

(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形.

多面体

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.

(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形. (1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.

(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.

旋转体

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 2.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

几何体

柱体(棱柱和圆柱)

锥体(棱锥和圆锥)

表面积

S表面积＝S侧＋2S底

S表面积＝S侧＋S底

体积

V＝Sh

1V＝Sh

31V＝(S上＋S下＋3S上S下)h

球

3.空间几何体的直观图

画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)．

(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x′轴、y′轴．

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．

(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．

1 台体(棱台和圆台)

S表面积＝S侧＋S上＋S下

S＝4πR2

4V＝πR3

3

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(

×

) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(

×

) (3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(

×

) (4)圆柱的侧面展开图是矩形．(

√

) (5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．(

√

)

1．下列说法正确的是________(填序号)．

①相等的角在直观图中仍然相等；

②相等的线段在直观图中仍然相等；

③正方形的直观图是正方形；

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．

答案

④

解析

由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．

2．(2014·陕西改编)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________．

答案

2π

解析

底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.

3．(2013·课标全国Ⅰ改编)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________ cm3. 器，容器高测得水深为答案

500π

3设DE＝x，故解析

作出该球轴截面的图象如图所示，依题意BE＝2，AE＝CE＝4，AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径AD＝5，

4500π所以V＝πR3＝. 334．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．

答案

6

2解析

由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，所以原

2

三角形的面积为6. 2

题型一

空间几何体的结构特征

例1

给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

③若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

④存在每个面都是直角三角形的四面体；

⑤棱台的侧棱延长后交于一点．

其中正确命题的序号是________．

答案

②③④⑤

解析

①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．

思维升华

(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．

给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是________．

答案

0个

解析

①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

形，但不一定三个平面的二行于侧棱，又个面都是直角

3

图1

图2 题型二

几何体的直观图

例2

(1)关于斜二测画法所得直观图的说法正确的序号为________．

①直角三角形的直观图仍是直角三角形；

②梯形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是菱形；

④平行四边形的直观图仍是平行四边形．

(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的是________．

答案

(1)④

(2)62a

16直观图的面积解析

(1)由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成了斜坐标系，而平行性没有改变，因此，只有④正确．

(2)画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′(如O′A′的中点．

1易知D′B′＝DB(D为OA的中点)，

212236∴S△O′A′B′＝×S△OAB＝×a2＝a2. 224416思维升华

解决有关“斜二侧画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．

(1)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，结果为如图所示的一个正方形，则原来的平面图形为________．

图)．D′为

4

(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其cm，O′C′＝2 cm，则原图形的形状为________．

答案

(1)①

(2)菱形

解析

(1)平面图形的直观图为正方形，且其边长为1，对角线长为2，所以原平面图形为平行四边形，且位于x轴上的边长仍为1，位于y轴上的对角线长为22. (2)如图，在原图形OABC中，

应有OD＝2O′D′＝2×22 ＝42 cm，

CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝OD2＋CD2

＝422＋22＝6 cm，

∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．

题型三

空间几何体的表面积

例3

有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．

(2)如图，斜三棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱AA′与底面相邻两边AB与AC都成45°角，求此斜三棱柱的表面解

(1)设正方体的棱长为a，

①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图①所示，a2有2r1＝a，∴r1＝，S1＝4πr21＝πa. 2侧棱长为b，积．

中O′A′＝6

②球与正方体的各条棱的切点在各棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面如图②所示，有2r2＝2a，

5

r2＝22a，S2＝4πr22＝2πa. 23a，∴S32③正方体的各顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面如图③所示，有2r3＝3a，∴r3＝2＝4πr3＝3πa2. 综上可得，S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. (2)如图，过A′作A′D⊥平面ABC于D，过D作DE⊥AB于E，连结A′E，A′F，AD. 则由∠A′AE＝∠A′AF，

AA′＝AA′，

得Rt△A′AE≌Rt△A′AF，

∴A′E＝A′F，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC，

又∵AB＝AC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′，

而AA′∥BB′，∴BC⊥BB′，

∴四边形BCC′B′是矩形，

∴斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin 45°＋ab＝(2＋1)ab. 又∵斜三棱柱的底面积为2×323a＝a2，

4232a. 2DF⊥AC于F，

∴斜三棱柱的表面积为(2＋1)ab＋思维升华

(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

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