2.2.4 平面与平面平行的性质精品学案

课堂导学

三点剖析

一、用平面与平面平行的性质定理证明线线平行或面线平行

【例1】

求证：夹在两个平行平面间的所有平行线段相等. 已知：α∥β,AB、CD是夹在α与β之间的任意两条平行线段，且A、C∈α,B、D∈β.

求证：AB=CD. 思路分析：要证AB=AC，即证ABDC为平行四边形.

证明：如图所示，连结AC、BD，

∵AB∥CD,∴由AB与CD确定一个平面为γ，且α∩γ=AC,β∩γ=BD,

∵α∥β,∴AC∥BD.又AB∥CD，

∴四边形ABDC为平行四边形.∴AB=CD, 即夹在两个平行平面间的所有平行线段的长度相等. 温馨提示

(1)面面平行的性质定理用于证明线线平行和线面平行. （2）线线平行的论证方法有：

①定义：aα,bα且a,b无公共点，则a∥b; ②公理4:a∥b,b∥ca∥c; ③线面平行的性质：a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b；

④面面平行的性质：α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b. (3)线面平行的论证方法有：

①定义：若a与α无公共点，则a∥α；

②判定定理：a∥b,bα,aα,则a∥α；

③面面平行性质：α∥β,aα,则a∥β.

各个击破

类题演练1

已知：三棱柱ABC-A1B1C1，D是BC中点，D1是B1C1中点，设面A1D1B∩面ABC=l1，面ADC1∩面A1B1C1=l2. 求证：l1∥l2.

证明：连结D1D，∵D与D1分别是BC与B1C1的中点，

∴DD1BB1,又BB1AA1, ∴DD1AA1,∴A1D1∥AD, 又面A1B1C1∥面ABC，

且面A1B1C1∩面A1D1B=A1D1，面A1D1B∩面ABC=l1,∴A1D1∥l1. 同理可证AD∥l2,又A1D1∥AD.

故l1∥l2. 变式提升1

如图正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱C1C、C1D1、D1D、DC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只须满足________条件时，就有MN∥平面B1BDD1，N是BC的中点（填上正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.

分析：连结HN，∵H、N分别为DC，BC中点，

∴HN∥BD，从而可证HN∥平面B1BDD1，

若MN∥平面B1BDD1又MN∩HN=N，

∴B1BDD1∥面MHN，

又面MHN∩面DCC1D1=HM，面B1BDD1∩面DCC1D1=DD1，

∴HM∥DD1，又H为DC中点，F为D1C1中点，

∴M应在HF上. 解析：M在HF上时，MN∥平面B1BDD1. ∵H、F分别是CD，C1D1中点，

∴HF∥DD1，

又∵N为BC中点，

∴HN∥BD. 从而可知，面HNF∥面B1BDD1，又知MN面HNF，

∴MN∥平面B1BDD1. 答案：M在HF上等

温馨提示

该题采取了逆向思维,利用了分析法,借助面面平行的性质定理找到点M的位置,再利用面面平行的另一性质加以论证它的真实性. 二、由面面平行的性质定理“作辅助面，得平行线”

【例2】

已知：如图，平面α∥平面β∥平面γ,直线a、b为异面直线，直线a分别交平面α、β、γ于A、B、C，直线b分别交平面α、β、γ于DE、F. 求证：ABBC. DEEF

证明：∵a、b为异面直线，

∵Ab,过点A作直线c∥b,分别交平面β、γ于B1、C1两点，则a、c确定一个平面设为δ,

∴β∩δ=BB1, γ∩δ=CC1,

∵平面β∥平面γ,

∴BB1∥CC1. ∴ABAB1, BCB1C1又∵平面α∥平面β,

∵AB1=DE, 同理：B1C1=EF，

∴ABBC. DEEF温馨提示

由此题可以看出，给出两个平面平行，而没有给出第三个平面和它们相交时，常常需要作出平面和它们相交，然后将面面平行转化为线线平行.另外，若一个结论是从某一结论扩展开来的，证明常用原结论去证. （1）两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，要害都集中在“平行”二字上.判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”.前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法. （2）“两个平面平行，则一个平面内的所有直线都与另一平面平行”的重要应用，也是判断直线与平面平行的重要方法. (3)面面平行性质定理为我们提供了一个应用的方法“作或找辅助面”.

类题演练2

直线AB、CD是异面直线，且与三平行平面α、β、γ分别相交于A、E、B和C、F、D，AD∩β=G，BC∩β=H.

求证：四边形EGFH为平行四边形. 证明：因为α∥β，且α∩平面ABC=AC，

β∩平面ABC=EH，所以EH∥AC，同理可得GF∥AC,所以GF∥EH. 同理，EG∥FH. 则四边形EGFH为平行四边形. 变式提升2

如图，线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA=9，AB=12，BQ=12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.

思路分析：求△BDE的面积，看起来似乎与本节的内容无关，事实上，已知△ACF的面积，

若△BDE与△ACF的对应边有联系的话，可以利用△ACF的面积求出△BDE的面积. 解：∵平面QAF∩α=AF，平面QAF∩β=BE，

又∵α∥β，∴ AF∥BE. 同理可证AC∥BD，

∴∠FAC与∠EBD相等或互补. ∴sinFAC= sinEBD. 由FA∥BE，

得BE∶AF=QB∶QA=12∶24=1∶2. ∴BE=1AF. 27AC. 3由BD∥AC，得AC∶BD=PA∶PB=9∶21=3∶7. ∴ BD=又∵△ACF的面积为72，

1AF·AC·sinFAC=72，

21117177∴S△DBE=BE·BD·sinEBD=·AF·AC·sinFAC=·AF·AC·sinFAC=×72=84. 3222626即∴△BDE的面积为84. 三、面面平行的性质定理的准确理解

【例3】

判断下列命题是否准确. （1）平面α∩平面γ=a,平面β∩平面γ=b,则a∥b.（

）

(2)α∥β,且mβ,则m∥α.（

）

(3)α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β.（

）

(4)α∥β,a与α相交，则a与β也相交.（

）

（5）α∥β,α∩γ=l1,β∩γ=l2,若a⊥l1,则a⊥l2.（

）

解析：(1)若α∥β,则a∥b,否则a与b可平行也可相交，所以该命题错. （2）由面面平行性质定理知，该命题对. （3）α与β可平行，也可相交，该命题错. （4）该命题对. （5）∵α∥β,∴l1∥l2,又a⊥l1,∴a⊥l2,对. 答案：（1）×

(2)√

(3)×

(4)√

(5)√

类题演练3

若α∥β,aα,下列命题正确的是（

）

①a与β内所有直线平行

②a与β内的无数条直线平行

③a与β内的任何一条直线不垂直

④a与β无公共点

A.①③

B.②④

C.②③

D.①③④

解析：过a作平面γ，使γ∩β=a′,∵α∩γ=a,

α∥β,∴a∥a′,则在β内所有a′平行的直线也都与a平行；在β内所有与a′相交的直线都与a异面；在β内所有与a′垂直的直线与a也垂直. 所以①③错，②对. 又知α∥β，且aα,∴a∥β,

∴a与β无公共点，∴④对.

答案：B