3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计(第二课时)

直线的倾斜角和斜率

太和中学

阮艳艳

教学目标：

1.知识与技能：

理解直线的倾斜角和斜率的定义，利用斜率和倾斜角从数和形两方面去刻画直线相对于x轴的倾斜程度，从而培养学生数形结合的数学思想。

2.过程与方法：

通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力，使学生初步了解用代数方法研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观：

引导学生参与到直线斜率的推导过程中，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣。通过小组合作、讨论，培养学生的团队精神和主动交流、学习的良好习惯。

教学重点：

抽象概括直线的倾斜角和斜率概念，探究发现过两点的直线的斜率公式。

教学难点：

倾斜角概念的形成，斜率概念的理解及直线的倾斜角与斜率的关系。

教学方法：

师生互动，引导学生阅读、发现、探索。

教学手段：

多媒体课件

教学过程：

一．新课引入

匈牙利数学教育家波利亚：学习任何东西，最好的途径是自己去探究发现。阅读是探究知识的重要手段。

二．新课讲授

（一）、

概念探究

1

自学阅读：阅读课本第59页“问题提出”的内容，思考下列问题：

问题1：已知直线上一个点，能确定一条直线吗？这样的直线有多少？有什么共同特点？

提示：不能确定。这样的直线有无数条，相交于同一点。

问题2：当直线的方向确定后，直线的位置确定吗？这样的直线有多少？有什么共同点？

提示：不能确定。这样的直线有无数条，互相平行。

问题3：文中提出了什么问题？答案是什么？

答案：在平面直角坐标系中，怎样刻画一条位置确定的直线呢？在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向。

在平面直角坐标系中，我们用坐标来表示点，那么，该如何刻画直线的方向呢？

自学阅读：阅读课本课本第60页第四段内容，思考下列问题：

问题1：这一部分讲到了什么概念？能谈谈你对它的认识吗？

（引导学生找出倾斜角概念中的关键词，可以像语文学习中找句子主干，看看倾斜角到底是什么？另外，在定义中找出你认为重要的关键词，并说明为什么？）

定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角。

规定：当直线l和x轴平行（或重合）时，它的倾斜角为0°。

通常倾斜角用表示，倾斜角的取值范围为0°≤α<180°。

yyyyo

xoxoxox零角

锐角

直角

钝角

练习1：下列四图中，表示直线的倾斜角的是(

A

) yyyyA

B C

D

练习2：判断对错

（1）所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应。

（对）

（2）每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。

（错）

总结：平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，倾斜程度相同的直线其倾斜角相同。

xxxooaxaaoao

问题2：直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？

答案：当倾斜角为锐角时，倾斜角越大直线越陡；当倾斜角为钝角是，倾斜角越小直线越陡。

（二）、概念探究2

问题1：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢？

在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？

自学阅读：阅读课本第60页第四段内容，看一下书中给出的例子。

问题：书中给了什么例子？具体是怎么表示的？

答案：用坡度来刻画道路的“倾斜程度”，坡度即破面的铅直高度和水平长度的比。

类比坡度，我们引进了一个刻画直线倾斜程度的量。

自学阅读：阅读课本第60页第五段到第61页第五段，思考问题：

问题1：过原点的直线的斜率是如何定义的？这里有什么需要注意的问题吗？

90°答案：过原点的直线当倾斜角α≠时，斜率k就是这条直线倾斜角α的正切值。

问题2：不过原点且不与x轴垂直的直线l的斜率如何定义？

答案：总可以作一条过原点并且与它平行的直线l1，由于两直线平行，倾斜角相等，于是可以用直线l1的斜率来表示直线l的斜率。因此，不过原点的直线也可以用斜率来刻画它的倾斜程度。

问题3：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同? 答案：直线当倾斜角α=90°时，直线斜率不存在；倾斜角不同时，其倾斜程度不同，自然斜率也不相同。

我们知道两点可以确定唯一的一条直线，如果已知直线上的两点，我们该怎么求出直线的斜率呢？

自学阅读：课本第61页倒数第一段到62页例1的上面部分，思考下面的问题。

问题1：如果已知直线上两点，怎样来求直线的斜率？

答案：两点间斜率公式。

问题2：两点间斜率公式还有什么需要注意的？

1.当直线与x轴平行或重合时，斜率为0；当直线与y轴平行或重合时，斜率不存在。

2.斜率公式与直线上点的位置无关（请学生来讲解，学生一般会想到用相似三角形的相似比来证明该问题，渗透数形结合的思想）。

问题3：斜率与倾斜角分别从代数和几何的角度反映了直线的倾斜程度，两者之间大小有什

么关系？

思路一：特值验证：已知A(1,0)，B(3,1)，C(2,1)，D(1,1)，E(1,0)，F(2,1)，求直线

AB，AC，AD，AE，AF的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角、直角还是钝角，并观察出倾斜角随斜率变化的情况。

思路二：以斜率为正值的两条不平行的直线为例，分别取两点，使得Δx相同，比较Δy的大小关系，进而判断斜率大小，再观察倾斜角的大小，进而得出结论。

思路三：利用《几何画板》演示动画。

总结：斜率与倾斜角之间当倾斜角0°≤α<90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜<α<180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大，率就越大，直线越陡；当90°直线越平。（钝角情况目前超出了我们的知识范围，关于斜率和倾斜角的关系，我们将在必修4里再次讨论。）

问题：关于斜率你还有其他认识吗？

答案：（引导发现斜率与函数单调性的关系。）当斜率大于零时，其对应的函数单调递增；当斜率小于零时，其对应的函数单调递减。

练习3：比较图中直线l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小。

答案：k1

l

l

23

l

1三、应用实践

例题1：如图，已知A(3,2)，B(4,1)，C(0,1)，求直线AB，AC，BC的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角。

y

A(3，2)

B(-4，1),

0

C（0，-1）

x

答案：。

思考：过A点的直线l与线段BC有交点,求l的斜率k的变化范围？

答案：2≤k≤1。

7练习：带领学生处理课后练习。

（备用）例题2：在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线

l1，l2，l3及l4．

答案：取l1上某一点为A1的坐标是A1(x1,y1)，根据斜率公式有:1=y1-0，即x1=y1，

设x1-0x1=1，则y1=1，于是A1点的坐标是(1,1)。过原点及A1(1,1)的直线即为l1。

同理可作出直线l2，l3及l4（如图）。

y

A3l3l1A1A2l4l2

x

A4四、课时小结

引导学生总结本节课所学内容，并补充完善，布置作业。

1.直线的倾斜角定义及其范围。

2.直线的斜率定义。

3.斜率k与倾斜角

α之间的关系：

α=0⇒k=tan0=00<α<90⇒k=tanα>0α=90⇒tanα(不存在)⇒k不存在90<α<180⇒k=tanα<04.直线斜率公式



k=

y2-y1y-y(或k=12)

x2-x1x1-x2