3.1.3 导数的几何意义优秀教案

课题:§3.1.3导数的几何意义

授课老师 江绵芳

一、教材的地位和作用

微积分学是人类思维的伟大成果之一，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用。导数的几何意义作为导数的概念的下位概念课，是学生掌握了上位概念——平均变化率、瞬时变化率以及导数的定义的基础上进一步从几何意义的角度理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探索的内容。同时，本节的学习也为下位内容——常见函数导数的计算以及导数在实际中的应用等知识奠定了坚实的基础。因此，导数的几何意义具有承前启后的重要作用，是本章的关键内容。

二、学情分析

从知识上看，学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，但是这些都是建立在数的基础上的，学生也渴求了解导数的另一种体现形式——形；从学习能力上看，通过一年多的学习实践，学生掌握了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力；从学习心理上看，学生对曲线的切线认识有一定的思维定式——“与曲线仅有一个公共点的直线是曲线的切线”。在本节课中，我们要在概念上上升一个层次，不是从公共点上定义切线，而是由割线的逼近来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上，以此激发学生的好奇心和兴趣点。

三、教学目标

知识与技能：理解导数的几何意义；

过程与方法：经历导数几何意义的学习过程，体会用导数的几何意义分析图象上点的变化情况的方法。

情感态度与价值观：体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展理性思维能力。

四、教学重点

导数的几何意义及其应用；

五、教学难点

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导数几何意义的推导过程。

六、教学过程

1.复习导入

（一）复***均变化率、割线的斜率、导数的概念。

（二）引入：我们知道，导数表示函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率，反映了函数yf(x)在xx0附近的变化情况，导数f(x0)的几何意义是什么呢？

2．新课讲授

（一）曲线的切线及切线的斜率

如图3.1-2，当Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

图3.1-2 我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P,即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

PT的斜率k有什么关系？

问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线⑵切线PT的斜率k为多少？

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容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pknn沿着曲线无限接近点P时，xnx0x0无限趋近于切线PT的斜率k，即klim（二）导数的几何意义

f(x0x)f(x0)f(x0)

x函数yf(x)在xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，

即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x例1．如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度cf(t) (单位：mg/mL)随时间t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．

通过例3让学生进一步认识到导数和切线斜率之间的关系，并由此引出导函数的概念。

（三）导函数的定义

由函数f(x)在xx0处求导数的过程可以看到,当xx0时,f(x0)

是一个确定的数，那么,当x变化时,

f(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数（简称导数）.记作：f(x)或y，即f(x)ylimx0f(xx)f(x)

x说明：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)与导函数f(x)之间的区别与联系：

（1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数；

（2）函数的导数f(x)，是指某一区间内任意点x而言的，

就是关于x的一个函数； - 3 -

（3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。

（四）导数的几何意义的应用

题型一

求曲线在某点处的切线方程

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标(x0,f(x0)); ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k，得到曲线在点x(x0,f(x0))的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程. 例2．求曲线yx2在点A(2,4)处的切线方程. 练习1：求曲线fxx3x在点A1,f(1)处的切线方程. 2题型二

求过某点且与曲线相切的直线方程 例3．已知曲线y2x27，求曲线过点P(3,9)的切线方程. 反思：若题中所给已知点(a,b)不一定是切点，首先应设出切点坐标(x0,f(x0))，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 练习2：求过点P(3,5)且与曲线yx相切的直线方程. 3．回顾总结

（1）导数的几何意义；

（2）导函数的概念；

（3）利用导数求曲线的切线方程。

4．布置作业

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