习题4.2优秀完整教案

4.2.1 直线与圆的位置关系

教学分析

学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时,利用圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现.在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法.解决问题的方法主要是几何法和代数法.其中几何法应该是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d后,比较与半径r的关系从而作出判断.适可而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”,并与“几何法”欣赏比较,以决优劣,从而也深化了基本的“几何法”.含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也适度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,要控制难度.虽然学生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质. 三维目标

1.理解直线与圆的位置关系,明确直线与圆的三种位置关系的判定方法,培养学生数形结合的数学思想. 2.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系及会利用直线与圆的位置关系解决相关的问题，让学生通过观察图形,明确数与形的统一性和联系性. 重点难点

教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系. 一、导入新课

(1)直线方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零). (2)圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r,圆心为(a,b),半径为r. (3)圆的一般方程x+y+Dx+Ey+F=0(其中D+E-4F＞0)，圆心为(-半径为2222222DE,-), 2212D2E24F. 二、新知探究

提出问题

①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类？

②在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？

③如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？

④判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？

讨论结果：①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种.

②直线与圆的三种位置关系的含义是: 直线与圆的位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

两个

只有一个

没有

圆心到直线的距离d与半径r的关系

d＜r d=r d＞r 图形

③方法一,判断直线l与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系. ④直线与圆的位置关系的判断方法：

几何方法步骤：

1°把直线方程化为一般式,求出圆心和半径. 2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离. 3°作判断：当d＞r时,直线与圆相离；当d=r时,直线与圆相切;当d＜r时,直线与圆相交. 代数方法步骤：

1°将直线方程与圆的方程联立成方程组. 2°利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程. 3°求出其判别式Δ的值. 4°比较Δ与0的大小关系,若Δ＞0,则直线与圆相离；若Δ=0,则直线与圆相切;若Δ＜0,则直线与圆相交.反之也成立. 三、典

例

探

究

思路1

例1、当m为何值时，直线mx－y－m－1＝0与圆x＋y－4x－2y＋1＝0相交、22相切、相离？

活动:学生思考或交流,回顾判断的方法与步骤,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价;方法一,判断直线l与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系. 解法一: 解：将y＝mx－m－1代入圆的方程化简整理得(1＋m)x－2(m＋2m＋2)x＋m＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)，

∴当Δ＞0，即m＞0或m＜－4/3时，直线与圆相交；

当Δ＝0，即m＝0或m＝－4/3时，直线与圆相切；

当Δ＜0，即－4/3＜m＜0时，直线与圆相离．

解法二：已知圆的方程可化为(x－2)＋(y－1)＝4，即圆心坐标为(2,1)，半径r＝2. 圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离为

|2m－1－m－1||m－2|＝ . 221＋m1＋m222222d＝

4当d＜2，即m＞0或m＜－时，直线与圆相交；

34当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切；

34当d＞2，即－＜m＜0时，直线与圆相离．

3点评:比较两种解法,我们可以看出,几何法判断要比代数法判断快得多,但是若要求交点,仍需联立方程组求解. 跟踪训练1、已知动直线：x－y＋1=0和圆C：(x－a)＋y＝2有公共点，则实数a的取值范围是？

例2.求过点(1，－7)且与圆x＋y＝25相切的直线方程．

活动:学生思考讨论,教师提示学生解题的思路,引导学生回顾直线方程的求法,既考虑通法又考虑图形的几何性质.此切线过点(x0,y0),要确定其方程,只需求出其斜率k,可利用待定系数法(或直接求解).直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径,切线与法线垂直. 解：由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，

即kx－y－k－7＝0 |－k－7|43∴＝5解得k＝或k＝－

34k2＋143∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)，

34即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0 点评:过圆外已知点P(x,y)的圆的切线必有两条,一般可设切线斜率为k,写出点斜式方程,再利用圆心到切线的距离等于半径,写出有关k的方程.求出k,因为有两条,所以应有两个不同的k值,当求得的k值只有一个时,说明有一条切线斜率不存在,即为垂直于x轴的直线,所以补上一条切线x=x1. 跟踪训练2、求圆x＋y＝10的切线方程，使得它经过点M(2，6)；

四、课堂小结

1.判断直线和圆的位置关系有哪些方法？ 2.求圆的切线的常用方法有哪些？ 五、当堂检测

2222221.下列说法正确的是( ) A、若直线与圆有两个交点,则直线与圆相切 B、与半径垂直的直线与圆相切

C、过半径外端的直线与圆相切 D、过圆心且与切线垂直的直线过切点

2.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是( ) A相切

B相交但直线不过圆心 C直线过圆心

D相离

3.已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切,那么a的值是( ) A 5 B 4 C 3 D 2

4.求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3,0)．

六、课后作业

1.必做题《课时作业》A组6~9题 选做题《课时作业》B组12.13题

2.预习《圆与圆的位置关系》并完成预习案

《直线与圆位置关系》教后反思

本节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的,是为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课.本节的主题是直线和圆,在解析几何中,直线与圆的关系是一个非常重要的知识点,可以对学生的思维有一个很好的锻炼,将几种重要的数学思想灌输给学生.首先,一开始的复习提问全面又突出重点,特别是“初中学习的如何判断直线和圆的位置关系？”这个问题,为学生思考提供了很好的引导.其次对于例题的选择有很高的要求,好的例题是一个好教案的重要保证.在例题的设计方面,本教案共分为三个层次来一步步的推进,让学生由浅入深,从思维容量上层层递进,对学生的思考和分析都有很好的引导作用,通过例题1对直线与圆的几种位置关系作了巩固,是每个学生都必须也能够掌握的.但这几问虽是基础题也并不是平淡无奇的题,它印证了判定的条件和结论在一定条件下是可以转化的.通过的例题2,对圆的切线方程的求法进行了说明和总结.这个知识点与“直线与圆”联系起来,而且同时又渗透了数形结合的思想.让学生通过具体的练习,通过自主地思考、研究,来体会数学思想对我们解题和研究的作用，而且还通过各知识点之间的联系、综合应用,组织学生一起思考起来,对应用的加强更是体现了“分类活动,激发潜能”的基本要求. 针对本节课的教学有成功之处同时也感觉到本节课的设计有不妥之处，主要有以下两点： １．学生观察得到直线和圆的三种位置关系后，是由我讲解的三个概念：相交、相切、相离。学生被动的接受，对概念的理解不是很深刻，可以改为让学生下定义，师生共同讨论的形式给学生以思维想象的空间，充分调动学生的积极性，使学生实现自主探究。

２．虽然我在设计本节课时是体现让学生自主操作探究的原则，但在让学生探索直线和圆三种位置关系所对应的数量关系时，没有给予学生足够的探索、交流的时间，限制了学生的思维。此处应充分发挥小组的特点，让学生相互启发讨论，形成思维互补，集思广益，从而使概念更清楚，结论更准确。