1.2.1 充分条件与必要条件名师教学设计2

充分条件与必要条件

教学目标

1．使学生理解充分条件、必要条件、充要条件的概念

2．通过对充要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性

3．培养学生学风的严谨性及思维的准确性，以提高自身的文化素质

教学设计

1．利用有关课件，揭示命题间的逻辑关系，帮助学生理解概念、正确判断，提高逻辑思维能力

2．通过学生的活动，培养其主动参与的意识及独立思考的品质

教学过程

新课引入

学生活动一：打开“四种命题”的课件，对于给定的原命题，回答它的…逆命题、否命题、逆否命题是什么？并逐一判断它们的真假．

原命题

逆命题

A x>0

否命题

B B A x2>0 (真) x2>0 x>0 (假)

逆否命题

A B B A x≤0

x2≤0

(假) x2≤0

x≤0

(真) 学生活动二：指出下列各组命题中，“pq”、“qp”是真是假．

1．p：∠A，∠B为对顶角．q：∠A=∠B

2．p：三角形三条边相等．q：三角形的三个角相等

3．p：x=y．q：x=y22 4．p：x是4的倍数．q：x是6的倍数

教师评述：

1．由∠A，∠B为对顶角∠A=∠B成立，即pq

一般地，如果已知pq，那么我们说p是q的充分条件，q是p的必要条件．

由于“pq”与“qp”等价，故若qp则q是p的必要条件．

2．由三角形三条边相等三角形三个内角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件，反过来由三角形的三个角相等三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件．一般地，如果既有pq又有qp，记作pq就说，p是q的充分必要条件．

3．由xyx2y2

但其逆命题x2y2xy不成立

(或否命题xyx2y2不成立) 即pq且q/ p(或pq且p/ q)我们说p是q成立的充分但不必要条件

q且q/ p

(4) p/ ∴ p是q的既不充分也不必要条件

小结

若pq则p是q的充分条件

若qp则的q是p的必要条件

若pq则p是q的充分条件

学生活动三：

内容：利用动画，在“库”中任选某对象为p，填入格中，再任选逻辑上有联系的另一对象为q，也填入格中，然后按格中栏目逐次写出命题“pq”及“qp”并对命题的真假做出判断，在此基础上，判断p是q的什么条件，并填在格中．

目的：学生在活动中，学会判断p是q的什么条件的具体的工作步骤和逻辑依据．

教师小结：

问题：试判断p是q的什么条件(指充分、必要、充要)？

这类问题的解题步骤是

第一步：构造命题一：pq，并判断其真假

第二步：构造命题二：qp，并判断其真假

第三步：根据两个命题的真假对p是q的什么条件做出判断；

一真，二真，p是q的充要条件

一真，二假，p是q的充分非必要条件

一假，二真，p是q的必要非充分条件

一假，二假，p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．

课件：“充要条件及其判断”

元素库：

①x=y

②x2=y2

③x=0

④x>3 ⑤xy=0 ⑥x>－1 ⑦x=0或y=0 ⑧y=0

表格

p q

学生活动四

pq(判断) qp(判断) p是q的什么条件

学生回答下列命题的真假，并判断p是q的什么条件(从“充分不必要”，“必要不充分”，“充分必要”，“既不充分也不必要”中选取一种答案)

(1) p

(x－2)(x－3)=0 q

x－2=0 pq

(x－2)(x－3)=0x－2=0 假

qp

p是q

q是p

x－2=0(x－必要不充充分的必2)(x－3)=0 真

分

要

(2) (3) x=3 x2=9 x=3x2=9 真

x2=9x=3 假

四边形是平行四边形四边形对角线相等

假

充分的必要

必要不充分

四边形对角线相等

四边形是平行四边形

四边形对角线相等四边形是平行四边形

假

既不充分又不必要

(4) a>b a+c>b+c a>ba+c>b+c

a+c>b+ca>b 充要条件

学生活动五

教师引导学生思考下列问题：

常见两种命题(“或”字命题与“且”字命题)的条件，结论间的相互关系与充要条件．

1．给出“或”字命题

如ab=0a=0或b=0

x2=y2x=y或x=－y 由学生编写出AB的命题形式，指出A、B及A是B的什么条件．

教师点评：a=0ab=0 (a=0是ab=0的充分条件) b=0ab=0(b=0是ab=0的充分条件) 再由学生编写出BA的命题形式，指出A、B及B是A的什么条件．

ab0a0(ab=0是a=0的必要条件) ab0b0( ab=0是b=0的必要条件) 2．给出“且”字命题

22如ab0a0且b0

由学生编写出AB的命题形式，指出A、B及A是B的什么条件

教师点评：

a2b20a0 (a2b20是a=0的充分条件) a2b20b0 (a2b20是b=0的充分条件) 再由学生编写出BA的命题形式，指出A，B及B是A的什么条件．

a0a2b20 (a=0是a2b20的必要条件) b0a2b20 (b=0是a2b20的必要条件) 小结：

①充要条件是重要的数学概念，主要是讨论命题的条件和结论的关系

②条件A能保证结论B成立，就说条件A对结论B是充分的没有条件A就没有结论B成立，就说条件A对结论B是必要的，这时A就是B的充分必要条件

③如果原命题成立，但它的逆命题不成立，就说原命题的条件对结论是充分不必要的

如果原命题不成立而逆命题成立，就说原命题的条件对结论是必要而不充分的．

如果原命题成立，它的逆命题也成立，就说原命题的条件对结论是充分必要的．

作业：

求证：实系数的二次方程ax+bx+c=0有两个异号实根的充要条件是ac<0．

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