习题3.2教学实录及点评

【课题】直线的方程

【教学目标】

1.知识与技能: 在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，

能观察直线的斜率和直线经过的定点。

2．情感、态度、价值观：通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识。

3.过程与方法: 通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力。

【教学重点难点】

1．教学重点：点斜式方程的应用

2．教学难点：点斜式方程的推导思想

【教法学法:学导式

【教学准备】多媒体

【教学安排】1课时

【教学过程】

一、复习引入：

前面几节课,我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形式，对直线方程有了一定的认识，这一节，我们来继续研究直线和二元一次方程的关系，并学习直线方程的一般式

二、讲授新课：

(1)点斜式

已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？

设点P(x，y)是直线l上不同于P1(x1，y1)的任意一点，根据经过两点的斜率公式得

kyy1 (1) xx1即y-y1=k(x-x1) (2) 注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．

重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．(实质上是证明了直线的方程与方程的直线的关系) 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．

注：当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．

当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．

(2)斜截式

已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．

这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：

y-b=k(x-0) 也就是y=kx+b 上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．

当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．

注：斜截式方程因为形式是直线方程中最简的，故在后续的课程中有十分重要的运用，但上述两种直线方程的形式都要求有斜率，故运用它们时往往要先对斜率的存在与否进行讨论，而这正是最容易错的地方。

三、内容、方法小结：

本小结介绍了直线的点斜式、斜截式方程，要注意两种方程适用的范围，学生通过本节课学习需掌握根据条件适当的选择方程形式。

直线的两点式方程

1、利用点斜式解答如下问题：

（1）已知直线l经过两点P(1,2),P2(3,5),求直线l的方程. 1（2）已知两点P其中(x1x2,y1y2)，求通过这两点的直1(x1,x2),P2(x2,y2)线方程。

教师引导学生根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把

问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：

3（1）y2(x1)

2（2）yy1y2y1(xx1)

x2x1二、讲授新课：

１．两点式直线方程：

当y1y2时，方程可以写成

yy1xx1(x1x2,y1y2)

y2y1x2x1由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）. 教师：若点P中有x1x2，或y1y2，此时这两点的直线方1(x1,x2),P2(x2,y2)程是什么？

活动：教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为：当y1y2时，直线与y轴垂直，直线方程为：yy1

xx1；３．例题讲解

例3 已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程。

教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线方程：

xy1

ab 教师指出：a,b的几何意义和截距式方程的概念。

例4

已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。

教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。

三、内容、方法小结：

本小结介绍了两点式、截距式方程，通过学习学生应能根据条件适当选择合适的形式给出方程。

直线的一般式方程

一、复习引入：

1．求：过点（2，1），斜率为1的直线的方程，并观察方程属于哪一类？

2．当直线的斜率不存在时，即直线的倾斜角α＝90时，直线的方程怎样表示？

二、讲授新课：

1．一般式

（1）直线的方程是都是关于x,y的二元一次方程：

在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在90和90两种情况下，直线方程可分别写成ykxb及xx1这两种形式，它们又都可变形为AxByC0的形式，且A,B不同时为0，即直线的方程都是关于x,y的二元一次方程．

（2）关于x,y的二元一次方程的图形是直线：

因为关于x,y的二元一次方程的一般形式为AxByC0，其中A,B不同时为0．在B0和B0两种情况下，一次方程可分别化成yxACx和BBC，它们分别是直线的斜截式方程和与y轴平行或重合的直线方程，即每一A个二元一次方程的图形都是直线．

这样我们就建立了直线与关于x,y二元一次方程之间的对应关系．我们把AxByC0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式．

一般地，需将所求的直线方程化为一般式．

例1．已知直线过点A(6,4)，斜率为截距式方程．

44的直线方程的点斜式y4(x6)，化成33xy一般式，得：4x3y120，化成截距式，得：1．

344，求该直线的点斜式和一般式方程及3解：经过点A(6,4)且斜率例2．求直线l:3x5y150的斜率及x轴，

y轴上的截距，并作图．

3解：直线l:3x5y150的方程可写成yx3，

53∴直线l的斜率k；y轴上的截距为3； 535当y0时，x5，∴

x轴上的截距为5．

练习：P110页练习题2 例3．求斜率为3，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程．

434解：设直线方程为yxb，令y0，得xb，

4314b∴|b()|6，∴b3，

23所以，所求直线方程为3x4y120或3x4y120． 例4．直线l过点P(6,3)，且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距相等，求直线l的方程．

分析：由题意可知，本题宜用截距式来解，但当截距等于零时，也符合题意，此时不能用截距式，应用点斜式来解．

xy解：（1）当截距不为零时，由题意，设直线l的方程为1，

bb631，∴b3，

∵直线l过点P(6,3)，∴bb∴直线l的方程为xy30．

（2）当截距为零时，则直线l过原点，设其方程为ykx，

1将x6,y3代入上式，得36k，所以k，

21∴直线l的方程为yx，即x2y0，

2综合（1）（2）得，所求直线l的方程为xy30或x2y0

三、内容、方法小结：

本小节介绍了直线的一般式方程，通过本节课的学习，学生应掌握一般式方程的形式以及意义；会熟练几种直线方程形式的互化。

四、课后作业 P259 练习9.31-9.32 1,2

五、板书设计：

5 直线的一般式方程

直线的一般式方程： 例2 AxByC0，其中A,B不同时为0 例3 例1 例4 六、教学反思：