2.2.4 平面与平面平行的性质国家获奖教案

2.2.4

平面与平面平行的性质

预习课本P58～61，思考并完成以下问题

1．线面平行的性质定理是什么？

2．面面平行的性质定理是什么？

3．面面平行还有哪些性质？

[新知初探]

1．直线与平面平行的性质

(1)文字语言：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．

(2)图形语言：

(3)符号语言：

a∥αa⊂β⇒a∥b. α∩β＝b[点睛]

定理中有三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a⊂β；③平面α，β相交，即α∩β＝b.三个条件缺一不可．

2．平面与平面平行的性质

(1)文字语言：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

(2)图形语言：

(3)符号语言：

1

面．

α∥βα∩γ＝a⇒a∥b. β∩γ＝b[点睛]

(1)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．

(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则直线b∥平面α(

) (2)若直线a∥平面α，则直线a与平面α内任意一条直线都无公共点(

) (3)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)√

2．梯形ABCD中，AB∥CD，ABA．平行

C．平行或相交

⊂B．平行或异面

D．异面或相交

平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(

) 解析：选B

由题意，CD∥α，则平面α内的直线与CD可能平行，也可能异面．

3．过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．

解析：由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1. 答案：平行

线面平行性质的应用

[典例]

如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH. [证明]

如图，连接AC，交BD于点O，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形，

2

∴点O是AC的中点．

又∵点M是PC的中点，

∴AP∥OM. 又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，

∴AP∥平面BDM. ∵平面PAHG∩平面BDM＝GH，AP⊂平面PAHG，

∴AP∥GH.

线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论．

[活学活用]

如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形．

证明：∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN. 又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ. 同理可证NP∥MQ. ∴四边形MNPQ为平行四边形. 面面平行性质的应用

[典例]

如图所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．

[解]

直线a，b的位置关系是平行．

∵平面ABC∥平面A′B′C′，

平面A′D′B∩平面ABC＝a，

平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，

3

∴A′D′∥a，同理可得AD∥b. 又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，

∴DD′綊BB′，而BB′綊AA′，∴DD′綊AA′，

∴四边形AA′D′D为平行四边形，

∴A′D′∥AD，因此a∥b.

利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤

(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；

(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)；

(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；

(4)由定理得出结论．

[活学活用]

如图，平面α∥平面β，AB，CD是两异面直线，且A，C∈β，B，C∈α，M，N分别在线段AB，CDAMCN上，且＝.求证：MN∥α. MBND证明：如图，过点A作AE∥CD，AE∩α＝E，连接BE，在平面ABE内作MP∥BE，MP交AE于P，

AMAP连接NP，DE，则MB＝PE. AMCNAPCN∵＝，∴＝. MBNDPEND∵平面α∥平面β，平面ACDE∩α＝ED，

平面ACDE∩β＝AC，

∴AC∥ED，∴PN∥ED. ∵PN⊄α，ED⊂α，∴PN∥α. ∵PM∥BE，PM⊄α，BE⊂α，∴PM∥α. 又PM∩PN＝P，

∴平面PMN∥平面α. ∵MN⊂平面PMN，∴MN∥α.

平行关系的综合应用

4

[典例]

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图．

(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；

(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC. [证明]

(1)因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD綊B1C1，

所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D. 又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD. 所以AB1∥平面C1BD. 同理B1D1∥平面C1BD. 又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，

所以平面AB1D1∥平面C1BD. (2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E. 又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，

所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；

连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是平面C1BD的交点．下面证明A1E＝EF＝FC. 因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，

平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，

平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F. 在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；

同理可证OF∥AE，所以F是CE的中点，

即CF＝FE，

所以A1E＝EF＝FC.

(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．

(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．

A1C与[活学活用]

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.

5

证明：如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，

∵MP∥BB1，

CMCP∴＝. MB1PB∵BD＝B1C，DN＝CM，

∴B1M＝BN，

CMDN∴＝，

MB1NBCPDN∴＝，

PBNB∴NP∥CD∥AB. ∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，

∴NP∥平面AA1B1B. ∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，

∴MP∥平面AA1B1B. 又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵MN⊂平面MNP，

∴MN∥平面AA1B1B.

层级一

学业水平达标

1．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(

) A．都平行

B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不一定交于同一点

D．都平行或交于同一点

解析：选A

因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A. 2.如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(

) A．GH∥SA

B．GH∥SD

6

C．GH∥SC

D．以上均有可能

解析：选B

因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B. 3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是(

) A．E，F，G，H一定是各边的中点

B．G，H一定是CD，DA的中点

C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC

D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC

解析：选D

由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC. 4．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：

α∥c⇒α∥β；

①β∥cα∥c⇒a∥α；

③a∥c其中正确的命题是(

) A．①②③

C．②

B．①④

D．①③④

α∥γ⇒α∥β；

②β∥γa∥γ⇒a∥β. ④β∥γ

解析：选C

①α与β有可能相交；②正确；③有可能a⊂α；④有可能a⊂β.故选C. 5．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，D两点，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(

) A．16

C．14

B．24或D．20 24

5PAPB16解析：选B

由α∥β得AB∥CD.分两种情况：若点P在α，β的同侧，则＝，∴PB＝，PCPD5PAPB24∴BD＝；若点P在α，β之间，则有＝，∴PB＝16，∴BD＝24. PCPD56.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

解析：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝22.又E为AD的中点，EF∥平面

7

1AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC的中点，∴EF＝AC2＝2. 答案：2 7．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

解析：记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．

答案：6 8．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：

①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；

②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥β，则α∥β；

③若a∥α，a∥β，则α∥β；

④若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b. 其中正确命题的序号是________．

解析：①错误，α与β也可能相交；②正确，设a，b确定的平面为γ，依题意，得γ∥α，γ∥β，故α∥β；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．

答案：②④

9.如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝DN，求证：MN∥平面SBC. NBAPAM证明：在AB上取一点P，使BP＝SM，连接MP，NP，则MP∥SB. ∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC. AMDNAPDN又SM＝NB，∴BP＝NB，∴NP∥AD. ∵AD∥BC，∴NP∥BC. 又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，

∴NP∥平面SBC. 又MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，

∴MN∥平面SBC. 10.如图所示，四边形ABCD是矩形，P

8 AMSM∉

平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴BC∥AD. ∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，

∴BC∥平面APD. 又平面BCFE∩平面APD＝EF，

∴BC∥EF，∴AD∥EF. 又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC. ∴四边形BCFE是梯形．

层级二

应试能力达标

1．已知平面α，β，直线a，b，c，若a⊂α，b⊂α，c⊂α，a∥b∥c，且a∥β，b∥β，c∥β，则平面α与β的位置关系是(

) A．平行

C．平行或相交

B．相交

D．以上都不对

解析：选C

由题意可知，平面α内不一定有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与β有可能平行，也有可能相交．

2．已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则(

) A．a∥b

C．a与b相交

B．a与b异面

D．a与b无公共点

解析：选D

由题意可知直线a与平面α无公共点，所以a与b平行或异面，所以两者无公共点．

3．已知平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是(

) A．平行

C．异面

B．相交

D．平行或异面

解析：选D

∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵a⊂α，b⊂β，∴直线a，b没有公共点，∴直线a，b的位置关系是平行或异面．

4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为(

) A．2∶5

C．4∶9

B．3∶8 D．4∶25 解析：选D

∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴

9

A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25. 5.如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB＝4，CD＝6，则MN＝________. 解析：∵AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，∴AB∥MN.又M是AC1的中点，∴MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5. 2答案：5 6.如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝________. BEAE解析：∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝ABm.同理，EH＝FG＝ABn，BEAE∴ABm＝ABn，∴AE∶EB＝m∶n. 答案：m∶n

7.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；

(2)求PQ的长；

(3)求证：EF∥平面BB1D1D. 解：(1)证明：如图所示．

连接AC，CD1，

∵P，Q分别是AD1，AC的中点，

∴PQ∥CD1. 又PQ⊄平面DCC1D1，

CD1⊂平面DCC1D1，

∴PQ∥平面DCC1D1.

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12(2)由(1)易知PQ＝D1C＝a. 22(3)证明：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，又FE1∩EE1＝E1，B1D1∩BB1＝B1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D. 又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.

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