信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆第一课时教学设计

平江七中数学教案

课

题：椭圆及其标准方程（一）

教学目的：

1．理解椭圆的定义

明确焦点、焦距的概念

2．熟练掌握椭圆的标准方程，会根据条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程

3．能由椭圆定义推导椭圆的方程

教学重点：椭圆的定义和标准方程

一、复习引入： 1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，彗星从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4太阳月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长 （说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）

2.复习求轨迹方程的基本步骤：

3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在

画图板上的F1,F2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉

近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆

二、讲解新课：

1

椭圆定义：

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

（

2.根据定义推导椭圆标准方程：

取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴

设P(x,y)为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c0）. 则F1(c,0),F2(c,0)，又设M与F1,F2距离之和等于2a(2a2c)（常数）

PPPF1PF22a

y又PF1(xc)2y2，

F1OF2Px(xc)2y2(xc)2y22a，

化简，得 (ac)xaya(ac)，

22由定义2a2c,ac0

22222222

1

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x2y2两边同除ab得 221

ab22此即为椭圆的标准方程

它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(c,0)F2(c,0)，中心在坐标原点的椭圆方程 其中acb 222令acb代入，得 b2x2a2y2a2b2，

如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点则变成F1(0,c),F2(0,c),222x2y2只要将方程221中的x,y调换，即可得

aby2x21，也是椭圆的标准方程

a2b2yPF2OF1理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐xx2y2标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在221aby2x2与221这两个标准方程中，都有ab0的要求，如方程abx2y21(m0,n0,mn)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，mnxyx2y2可与直线截距式1类比，如221中，由于ab，所以在x轴上的“截距”abab更大，因而焦点在x轴上(即看x,y分母的大小)

22三、讲解范例：

例1

写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离

之和等于10；

⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（35,）

22解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

x2y2

221

(ab0)

ab

2

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2a10,2c8a5,c4b2a2c252429x2y21

所以所求椭圆标准方程为259

⑵

因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为

y2x21

(ab0)

a2b2由椭圆的定义知，

35352a()2(2)2＋()2(2)2

2222

311010210

22a10

又c2

b2a2c21046

y2x21

所以所求标准方程为106另法：∵

baca4

222235y2x21，后将点（,）的坐标代入可求出a，从而求∴可设所求方程2222aa4出椭圆方程

四、课堂练习：

x2y21上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）

1

椭圆259A.5 B.6 C.4 D.10 x2y21的焦点坐标是（ ）

2.椭圆25169A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) x2y221，焦点在x轴上，则其焦距为（ ）

3.已知椭圆的方程为8mA.28m2 B.222m

3

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C.2m28 D.2m22

4.a6,c1,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是

x25.方程3y2sin(241表示椭圆，则的取值范围是（ ）

)k.Ｃ.83 Ｂ.88k3(k∈Ｚ）

8833(k∈Ｚ）

Ｄ. 2k2k8882.C3.A参考答案：1.Ay2x21

5. Ｂ4.3635

五、小结

：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 2a2c0；

②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定；

③a、b、c的几何意义

六、课后作业：

1．判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出a,b,c的值

x2y2x2y2x2y21；②1；③1；④4y29x236

①224242答案：①表示园；②是椭圆a2,b22,c2；

2x2y2③不是椭圆（是双曲线）；④4y9x36可以表示为221

，是椭圆，23a3,b2,c5

x2y21的焦距是

，2

椭圆焦点坐标为

；若CD为过左焦点F1的弦，169则F2CD的周长为

答案：2c27;F1(7,0),F2(7,0);4a16

3．

方程4xky1的曲线是焦点在y上的椭圆

，求k的取值范围

22答案：0k4

224

化简方程：x(y3)x2(y3)210

4

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x2y21

答案：1625x2y21上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是

5

椭圆10036王新敞奎屯新疆答案：4

6

动点P到两定点F1

(-4,0)，F2

(4,0)的距离的和是8，则动点P的轨迹为

_______

答案：是线段F1F2，即y0(4x4)

七、板书设计（略）

八、课后记：

写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答) x2y2y2x21；1）(1)a=4,b=3,焦点在x轴；(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.（答案：

1692521(2)

已知三角形ΔABC的一边长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程

解：以BC边为x轴，BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程x2y21

为：2516若以BC边为y轴，BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，

x2y21

其方程为：1625

5