信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学设计

《基本轨迹》教学设计

一.教材分析

《基本轨迹》是初高中数学衔接教材的一节内容.本节内容属于轨迹的概念教学，是在学生学***面几何知识的基础上进行的，学好它既可以对所学的几何知识有新的认识，又可为高中研究轨迹的方程等问题打好基础.而轨迹问题是高中数学研究解析几何的重、难点，也是高考的热门之一.因此本节内容尤为重要，它为学习轨迹方程架起了一座“桥梁”. 二.学情分析

刚步入高中的初中生们，有着强烈的学好数学的愿望，具有较强的观察能力和模仿能力，反应灵活，活泼好动，对学习新鲜事物有很大积极性，然而基础的不扎实和初高中数学的部分内容“脱节”会导致学习高中数学产生困难；特别是在语言表达和概念上由具体到抽象产生较大的突变. 根据教学内容的地位和作用结合学生的具体学习情况，我制定了如下的教学目标和教学重难点：

三.教学目标

☆知识与技能：结合实例，了解轨迹的概念，初步会求简单点的轨迹.

☆过程与方法：经过合作、探究定理的过程，识别满足不同条件点的轨迹的方法.

☆情感态度与价值观：通过合作学习，培养学生的动手探究、交流合作的能力和探索精神. 四.教学重、难点

教学重点：了解轨迹的概念，初步探索并掌握常见的三种基本轨迹. 教学难点：会识别不同条件的点的轨迹，能够准确运用数学语言归纳点的轨迹. 五.教学策略与手段

教学策略与方法：观察发现、启发引导、相互探究讨论的教学方法. 帮助学生整理并完整表达个人的思想；提供给学生交流的机会，让学生在讨论中对相互启发，开阔视野，加深理解；引导学生进行小组合作学习，培养其协作学习的意识和动手能力. 第1页

（1）通过情境引入新课，激发学生的求知欲；

（2）探索新知过程中引导学生进行观察、猜想、归纳，组织学生自主探索，交流合作，让他们在探索中发现新知；

（3）结论应用时充分体现学生的主体地位，在老师的引导下鼓励学生主动参与进而内化轨迹概念的理解. 学法：根据学生的思维特点、认知水平，能让每一个学生自主参与整堂课的知识构建，教学中主要采取自主探究、合作交流相结合的学法：

（1）合作学习：引导学生讨论交流，共同探讨问题；

（2）探究学习：引导学生在问题中质疑、猜想、总结、应用，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力；

（3）自主学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知. 教学手段：将多媒体技术和传统的教学手段相结合.其目的是充分发挥各种媒体的特长，在优化组合的基础上，提高教学效率，改善教学效果.

六.教学过程

教学

环节

创温

设故

情引

境新

【复习】1.线段垂直平分线上的每一点到线段两端点的距离 ；

反之，和线段两个端点的距离相等的点都在线段的 上. 2.角平分线上的点到角两边的距离 ；反之，到角两边的距离相等的点都在角的 上.

【问题1】观看动画并思考篮球、月球、飞机的运动图形是什么？

【引入】这就是我们今天一起来学习的轨老师---提出新的问题：观看动画，思考篮球、月球、学生用已学知识轻松的回答问题. 巩固旧知同时又为新知埋下伏笔. 教学过程预设

师生互动

设计意图

问题1是学生思维的开始也是学生兴趣的开始，通过问题1的设置给学生创设第2页

迹问题——基本轨迹（点的轨迹）。

轨迹的概念：

自合

主作

学探

习究

【探索】

飞机的运动图形是什么？引出课题.板书概念.

问题情境，使学生产生强烈的问题意识，从而激发学生的求知欲，积极主动地探索新知.

这一部分是后面利用定理求点的轨迹的理论依据，重要性不言而喻，而学生又只学***面的一些几何知识和基本作图，则不必要求【小实验1】已知平面内一定点A，

试分．（1）动手：学生在教别作出点P的轨迹，①PA2cm，②．师的提示下，自主做小实验积极思考，并合作、交流成果，以培养PA4cm，小组讨论，有何发现？

【小实验2】已知线段AB8cm，试作出点P的轨迹，使得PAPB，小组讨论，学生多动手、勤思考、严格的证明，因此，只要求有何发现？

多媒体展示：到定点等于定长的点的轨善交流的能力. （2）动脑：老师多媒学生能借助作图工具基本经过合作、探究定理的过程得出结论，这与新课标中的要求是相吻合的.

这一过程体现了信息技术与数学课程的很好整合，让学生直观、形象的经历知识的形成过程，体验知识的发现、发生过程，

意在提高学生数学语言表述的能力，加深对本节课重点内容的理解，从而有利于本节课重点的突出.

迹；到线段两端点距离相等的点的轨迹. 体展示点的轨迹的变

【归纳】基本定理1.2 定理1：到定点的距离等于定长的点化，学生尝试总结得到基本轨迹定理.

（3）动口：最后学生语言描述、总结探索的结论. 的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 定理2：和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.

【思考】初中学过角平分线定理，你能否用轨迹的概念叙述？

【类比归纳】基本轨迹定理：

教师----板书

学生----加深对三种基本轨迹的理解，做好定理3：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. 第3页

笔记.

当巩

堂固

训提

练高

【典例分析】 例题：已知圆O过两个点A、B，试问圆心O的轨迹是什么？

学生----思考并展示

教师----展示几位学生的答案并分析、点评.

（比较学生的答案：学会用准确的数学语言表述点的轨迹.）

求点的轨迹是定理的一个重要应用，也是本节课的重点，为此，设计了如下层次的训练

1.例题是结论的直接应用，学生初步体验基本轨迹的简单应用，

明确了求点的轨迹可先画出一些适合的点，再研究它们的共性并根据基本定理确定所求的点的轨迹是什么图形。如何准确的用数学语言归纳点的轨迹。为下题的解决做好铺垫.

【变式训练】 如图，在平面直角坐标系内，线段AB的两端点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，AB=8cm，问：求线段AB中点M的轨迹.

小结：确定轨迹问题的一般步骤：

B

M

O

A x

y

学生----利用平面几何知识和轨迹定理解决问题.

2.变式训练的设置让学生能用所学知识轻松解决简单的轨迹问题.这一过程会让学生有极大的成就感，举学生板书解题过程. 一反三，提高了学习兴趣.

学生互评.

教师巡视并点评.

老师----引导学生小结求点的轨迹的一般步骤

另外学生的互评、教师的点评会让学生认识到解题的严谨性，培养学生的严谨思维.

学生的的小结概括：重在培养概括、归纳问题的能力，力求使学生不停留解题阶①描点(满足条件的特殊点)； 第4页

当巩

堂固

训提

练高

课

②连线(利用基本轨迹，定性分析)； ③成图 (多剔少补).

【当堂巩固训练】

1.如图，在平面直角坐标系内，已知点学生----当堂测试

教师----巡堂检查学生的测试情况.发现问题.

段，使学生能善于总结规律与方法.

当堂巩固训练中设置的两个练习是变式训练的拓展：依次涉及直线、圆，这样一题多变，逐步深化，让学生体会：求轨迹问题的一般方法，

另外，第1（1）题是一A(4,0),B(0,4)，

（1）求到线段AB两端点的距离相等的点P的轨迹. （2）你能求出点P轨迹应满足的关系式吗？

2.与相交于A、B两点的等圆都外切的动圆圆心的轨迹.

本节课我们学习了：

1.轨迹的概念

学生对本节课所学的知识进行总结、O

A x

B

y

道跨越性的题目，有一定的抽象性，是衔接初高中数学轨迹问题的一个体现，学生的答案也许是“百花齐放”，教师应该适时、适当的给出点拨与点评. 同时通过习题学生对本节课的重难点又有了深入理解.特别是对动手画图的分析能力的认识有较大的提高，这为以后在学习高中数学中的数形结合思想埋下伏笔.

培养学生学习----总结----学习——反思的良好习惯，同时通过自我评价来2.三个基本轨迹：圆、中垂线、角平分线

反思.

第5页

堂

小

结

3.求点的轨迹一般步骤：

①描点

②感知

③剔补

④表述.

获得成功的快乐，提高学生学习的自信心.

作业必做题：同步练习 1，2，3,4题；

作业的布置注意到分层，满足不同层次学生的需要. 设

计

选做题：同步练习 5，6，7题.

板

书

设

计

二．轨迹的概念

及基本定理

1.轨迹：

2.基本定理

定理1：

定理2：

小结：求轨迹的一般步骤

一．知识回顾

清晰明了，简洁有序的板书课题：基本轨迹

例题分析

例题：

有利于知识的回顾与总结. 变式

七.教学流程、教学评价

第6页

教学流程图：

开始

知识回顾，创设情景，

引入课题

了解概念

轨迹定理2的探究

轨迹定理1的探究

自主合作、探究新知

归纳小结：轨迹定理

例题

定理应用

变式

归纳小结：确定点的轨迹一般步骤

课堂

测试

小结结束

教学评价----感谢各位专家的指导和评价！

第7页

同步作业

1.已知线段AB，切AB中点E的动圆圆心的轨迹是（ ）

A.线段AB的中垂线 B. AB的垂线（除去E点）

C.线段AB的垂线 D.线段AB的中垂线（除去E点）

2.已知两条平行线之间的距离为6cm，和这两条平行线都相切的动圆圆心的轨迹是（ ）

A.和这两条直线平行，且距离等于6cm的一条直线

B.和这两条直线平行，且距离等于3cm的两条直线

C.和这两条直线平行，且距离都等于3cm的一条直线

D.和这两条直线平行，且距离等于3cm的三条直线

3.点P(x,y)在直角坐标系内运动，且满足xy0，则点P的轨迹是（ ）

A.平分第I象限角的一条射线

B.平分第II象限角的一条射线

C.平分第III象限角的一条射线

D.平分第I、第III象限角的一条直线

4.以圆O上一点A为端点的弦的中点的轨迹是 5.在半径为5cm的圆中，长为6cm的动弦的中点的轨迹. 6.已知线段AB=4cm.画出到点A的距离等于3cm的点的轨迹，再画出到点B的距离等于2cm的点的轨迹，指出到点A的距离等于3cm，且到点B的距离等于2cm的点，这样的点有几个？

7.如图所示，已知∠EOF，点A和点B，求作一点P，使点P同时满足：

（1）到∠EOF的两边距离相等； （2）到点A和点的距离相等.

第8页