21.2 二次根式的乘除多媒体教学设计及其点评

八年级数学·下 新课标[人]

二次根式的乘除

1.理解=·(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.

2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.

1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步了解数学知识之间是互相联系的.

2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.

鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.

【重点】

会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算.

【难点】

二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.

【教师准备】

教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】

复习二次根式的定义和代数式的定义.

导入一:

古希腊的几何家海伦的邻居家有一块三角形的菜地,测得三边的长分别为7 m,5 m,8 m,海伦很快就算出了这块菜地的面积,邻居想了很久也算不出来,你知道海伦是如何将这块地的面积计算出来的吗?

原来海伦先算出三角形的周长的一半为10 m,再根据计算三角形的面积公式得=(m),可是后面这个式子该2如何化简呢?这节课我们一起来进行探讨.

[设计意图]

创设情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.

导入二:

我们知道长方形的面积等于长乘宽,一个一组邻边长为2和3的长方形,你能算出它的面积吗?其实这个长方形的面积是2×3,你能算出这个结果,求出长方形的面积吗?

[设计意图]

联系生活实际导入新课,让学生感受到数学来源于生活,唤起学生探究新知的欲望.

1.二次根式的乘法

思路一

计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?

(1)×=

,=

;

(2)×=

,=

;

(3)×=

,=

.

参考上面的结果,用“>,<或=”填空.

×

,×

,×

.

老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.

老师点评:(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的乘法等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.

提问:二次根式的乘法法则是什么?字母表达式是怎样的?

学生总结二次根式的法则:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.

[设计意图]

培养学生细心观察问题,并合作完成问题的习惯.

[知识拓展]

(1)·=成立的条件是a≥0且b≥0,千万不能忽略.(2)此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).在·=(a≥0,b≥0)中,a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数,如m·n=mn(a≥0,b≥0).

思路二

出示教材第6页“探究”.

计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?

(1)×=

,=

;

(2)×=

,

;

(3)×=

,=

.

学生自己计算,并力争独立发现规律:×=,×=,×=.

教师演算:

×=×5=,

=

=,则

×=

.

由上面的特殊例子引导学生总结:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.

[过渡语]

你会应用二次根式的乘法法则吗?

尝试练习(教材例1):

计算:(1)×;(2)

×.

学生独立做完后,同桌内确定答案,并记录下自己的错误之处,以便后面交流.

[设计意图]

由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式乘法的法则,通过尝试练习使学生先学会初步掌握如何进行二次根式的乘法.

2.积的算术平方根的性质

思路一

[过渡语]

·=反过来也成立吗?

计算并思考:

①==

,×=2×5=

;

②

=

=

,×

=6×=

;

③==

,×=0.1×3=

.

你认为=

(a≥0,b≥0).

学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现.教师根据学生情况引导:

根据算术平方根的意义,得==10,×=2×5=10,则=×;同样,

=

=,×

=6×=,则有=×

;==0.3,×=0.1×3=0.3,则有=×.由此可以得出两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.

进一步明确:=·(a≥0,b≥0).

[设计意图]

让学生亲自动手,进行探究,得出结论,激发学生求知欲望.

思路二

[过渡语]

把·=反过来,就得到=·,利用它就可以将二次根式化简.

尝试练习:

化简:(1);(2)(m>0).

学生讨论,得出:(1)先把被开方数化为20×10,再利用=·计算;

2

(2)先把被开方数化为(9m)与n乘积的形式,再利用=·计算.

2

解:(1)原式=×=20.

(2)原式==·=9m.

教师针对练习中的错误进行纠正,引导学生归纳:两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积,即=·(a≥0,b≥0).

[设计意图]

鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.

[知识拓展]

(1)当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=·,而不等于·.(2)积的算术平方根性质可推广为:当a≥0,b≥0,c≥0时,=··.(3)公式中a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式,但必须满足a≥0,b≥0.

3.例题讲解

(教材例1)计算:

(1)×;(2)

×.

引导学生结合前面尝试练习分析:根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)进行计算.

解:(1)×=.

(2)

×=

==3.

(教材例2)化简:

(1);

(2).

教师引导发现:被开方数4ab含4,a,b这样的因数或因式,它们被开方后可以移到根号外,是开得尽方的2323因数或因式.根据积的算术平方根的性质=·进行二次根式的化简.

解:(1)=×=4×9=36.

(2)=··=2·a·=2ab.

(教材例3)计算:

(1)×;(2)3×2;(3)·

.

〔解析〕

根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)计算,其中3×2中,二次根式前面有系数,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数.

解:(1)×===×=7.

(2)3×2=3×2=6=6×=6×5=30.

(3)·

=

==·=x.

[解题策略]

化简二次根式的方法:①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.

【变式训练】

判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正.

(1)=×;

(2)

×=4×

×=4×

=4=8.

解:(1)不正确.改正:==×=2×3=6.

(2)不正确.改正:

×=

×=

==4.

[设计意图]

让学生把所学知识灵活运用,给前面尝试练习错误的学生一次强化训练的机会,力争人人能过关.

师生共同回顾本节课所学主要内容:

1.·=(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式进行相乘的运算,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).

2.=·(a≥0,b≥0),用语言叙述为:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.

1.若=·,则a的取值范围是

(

)

A.-4≤a≤4

B.a>-4 C.a≤4

D.-4

2.下列各式成立的是

(

)

A.4×2=8

B.5×4=20

C.4×3=7

D.5×4=20

解析:A错,正确结果为40;B错,正确结果为20;C错,正确结果为12;D正确.故选D.

3.一个长方形的长和宽分别是

cm和 cm,则这个长方形的面积是

.

解析:

×=

=25(cm).故填25 cm.

22

4.已知x>0,y>0,则·=

.

解析:·=·=·=xy.故填xy.

5.化简:(1);(2)(a≥0,b≥0).

解:(1)=×=6×9=54.

(2)=··=3·a·=3a·=3ab.

6.计算:(1)×;(2)4×7;(3)3

×5;(4)·

.

解:(1)×==6.

(2)4×7=4×7=28=252.

(3)3

×5=3×5

=15.

(4)·

=

=a.

第1课时

1.二次根式的乘法

2.积的算术平方根的性质

3.例题讲解

例1

例2

例3

一、教材作业

【必做题】

教材第7页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第1题.

【选做题】

教材第11页习题16.2第6题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列各数中,与的积为有理数的是

(

)

A.

B.3

C.2

D. 2.(2015·安徽中考)计算×的结果是

(

)

A.

B.4

C.

D.2 3.已知m=×(-2),则有

(

)

A.5

B.4

D.-6

(

)

A.k

B.m=n

C.m

D.m

【能力提升】

5.张老师在计算机上设计了一个长方形,已知长方形的长是 cm,宽是 cm.他又想设计一个面积与其相等的圆,则圆的半径是

.

6.·是一个整数,那么最小正整数a的值为

.

7.计算:(1)×

×;

(2)×0.5(a≥0);

(3)×(-)×.

8.一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器中装满水,现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的长方体铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20 cm,求铁桶的底面边长是多少厘米.(容器的尺寸为从里面量得的)

9.若y=,且x,y为实数,求·的值.

【拓展探究】

10.观察下列各式:

=2

,

=3

,

=4

,….

(1)你能发现上述式子有什么规律吗?将猜想到的规律用含自然数n(n为正整数)的代数式表示出来是

;

(2)请你运用所发现的规律,写出第9个式子;

(3)请你验证所发现的规律.

【答案与解析】

1.C(解析:因为×=,而为无理数,所以选项A错误;因为3×=3,而3是无理数,所以选项B错误;因为2×=6,而6是有理数,所以选项C正确;因为×=3,而3为无理数,所以选项D错误.故选C.)

2.B(解析:∵·=(a,b都是非负数),∴×====4.故选B.)

3.A(解析:m=×(×)=××=2.∵25<28<36,∴<<,即5<2<6.故选A.)

4.D(解析:化简二次根式得到k,m及n的值,=3,=15,=6,可得k=3,m=2,n=5,则m

5. cm(解析:设圆的半径为r cm,则πr=·,r=.)

6.2(解析:因为50=5×2,所以50×2=5×2,因此a的最小整数值为2.)

22227.解:(1)×

×=×

×

=

==4.

(2)×0.5===abc.

(3)×(-)×=×=×=60.

8.解:设铁桶的底面边长为x cm,则x×10=30×30×20,x=30×30×2,所以x==30,所以铁桶的底面边长是30 cm.

9.解:由已知得4-x≥0,x-4≥0且x≠-2,∴x=2,∴y=.当x=2,y=时,·=

·=

=.

10.解析:解决这类问题的方法是先观察已知几个等式的数字特征,从而发现各式的数字变化规律,归纳出几个式子所反映的一般规律,这种探索性解题的方法在今后的学习中经常用到,望同学们引起高度重视.

解:(1)

=(n+1)

(n为正整数)

(2)当n=9时,可得到第9个式子为:

=10

.

(3)因为左边=

=

=

=(n+1)

=右边,所以

=(n+1)

(n为正整数).

2222

本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,不断进行自主探究,在探究过程中注意观察知识产生发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.

学生基本掌握了二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质,但一些学生在计算被开方数相乘时,喜欢急于算出乘积的结果,而应将被开方数进一步分解因数,以便把开得尽方的因数移到根号外面,从而使计算简便.