21.1 二次根式优秀教学设计内容

北京市玉渊潭中学第四届“新星杯”青年教师课堂教学展示

学科教学设计模板

基本信息

姓

名

学

科

年

级

毛飞弋

数学

初三

学

校

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教科书版本及章节

北京市玉渊潭中学

13693697428 人教版第21章第21.1节

学习领域/模块

数与代数

单元教学设计

单元学习主题

1.

单元教学设计说明

本章是初中阶段“数与式”内容的最后一章，实际上，二次根式并不是一个全新的概念，它是一个非负数，是非负数的算术平方根概念的一般表示.因此，本章内容的核心是以二次根式这一特殊的“式”为载体，进一步引导学生体会运算在代数中的核心地位，学习用运算法则进行运算，体会运算法则的逻辑相容性，体会运算律在代数中的基础地位.由“二次根式的概念（定义研究对象）——二次根式的性质——二次根式的运算（运算法则和运算律的应用）”来展开学习，以运算为核心，加强运算技能训练，加强运算能力的培养，注意代数学的整体性，加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程.

二次根式

2.单元学习目标与重点难点

本章学习目标：

（1）了解二次根式的概念、知道被开方数必须是非负数的理由. （2）了解最简二次根式的概念. （3）理解二次根式的性质：a0a0;a2aa0;a2aa0. （4）了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单四则运算. （5）了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 本章重点：二次根式的运算和运算法则. 本章难点：在理解二次根式的性质的运算法则的基础上，养成良好的运算习惯.

3.单元整体教学思路（教学结构图）

本章教学时间约需9课时，具体分配如下：

21.1 二次根式

2课时

21.2 二次根式的乘除

3课时

21.3 二次根式的加减

2课时

数学活动

小结

2课时

- 1 -

课时教学设计

课题

课型

21.1二次根式（第1课时）

新授课√□

章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□

1.

教学内容分析

本课时是在平方根知识的基础上，学习二次根式的概念. 二次根式是表示非负数（包括具体的数和表示数的字母）的算术平方根的一类式子，从平方根的意义出发，得到二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，而且二次根式的值是非负数，这就是二次根式的双重非负性.

2.

学习者分析

学生已经学习了“整式”、“平方根”、“算术平方根”“分式”等知识，已经具备了学习二次根式的知识基础和心理基础，但学生刚认识二次根式，学习将有一定的难度，学生知识障碍点是二次根式的概念及运算，本章知识对学生思维的严谨性、分类讨论及类比的数学思想等都有更高的要求，如果学生不能很好的理解和正确的认知，将对今后的学习产生很大的影响，所以要求学生积极探究、思考，及时加以巩固，克服学习困难，真正“学会”.

3.学习目标确定

（1）知识与技能：掌握二次根式的概念；能确定被开方式中字母的取值范围；理解二次根式的双重非负性.

（2）过程与方法：借助实例，应用归纳法，抽象得出二次根式的概念，体会抽象概括的思想；应用联系的观念，从算术平方根的数学意义得出二次根式的双重非负性.

（3）情感、态度与价值观：从实际生活中抽象出二次根式，感受数学模型思想和应用价值，培养应用意识；从算术平方根到二次根式，体会知识之间的联系，感受普遍联系的辩证观念；通过问题解决，树立学好数学、应用数学的信心和意识.

4.学习重点难点

重点：从算术平方根抽象概括二次根式的概念及其双重非负性. 难点：由二次根式的非负性求字母的取值范围.

5.学习评价设计

通过本节课的学习，让学生了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由.并能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，能确定被开方式中字母的取值范围；理解二次根式的双重非负性.

同时借助实例，从实际生活中抽象出二次根式，感受数学模型思想和应用价值，培养应用意识，体会抽象概括的思想；应用归纳法，在抽象得出二次根式的概念的过程中，体会知识之间的联系，感受普遍联系的辩证观念；并应用分类讨论的思想，从算术平方根的数学意义得出二次根式的双重非负性，通过总结提升，类比分式的学习来展望二次根式后续学习内容，激发学生树立学好数学、应用数学的信心和意识.

- 2 -

6.学习活动设计

教师活动

环节一：创设情境，提出问题

教师活动1 学生活动1 学生思考并一、填空

完成上述问1.一长方形的长为a，宽为b，则其周长为________，面积为_

.

题，用分式、2.学校有学生1500名，每人订购一套校服，共花费m元，则每人花费整式、算术_______元；若学校有学生n名，每人订购一套校服，共花费m元，则每平方根表示人花费________元.

3.若正方形的面积为3，则边长___________，若正方形的面积为s,则边长___________,若正方形的面积为b-3,则边长___________.

4.一圆的面积为S，则其半径为___________.

活动：你能把以下式子进行分类吗？并说明你的分类依据.

mms、、3、2a2b、b3、ab、、s

1500n学生活动

结果，在教师的适当引导下，学生实现从数的算术平方根到用含有字母的式子表示算术平方根的抽象，进而帮助学生归纳得到二次根式的概念.

3、s、b3、s它们既不是整式，又不是分式，那是什么呢？

仔细观察，它们有什么区别和联系？

区别：3表示具体数3的算术平方根,s、b3、s分别是含有字s母s、b3、表示的数的算术平方根

联系：都表示非负数的算术平方根

教师：含有字母的算术平方根具有一般性，这是需要研究的新一类式子.

活动意图说明：为概括二次根式的概念提供具体例子，同时发展符号意识. 通过追问，让学生回顾算术平方根的概念，再次体会字母表示的数可以进行开平方运算，体会字母表示数的一般性和简约性.

环节二：合作探究，形成概念

教师活动2 学生活动2 学生通过找- 3 -

上面得到的式子3、s、b3、s有什么共同特征？

它们的共同特征概括出二次根式的定义. ”

称为二次

共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．

定义：一般地, 形如aa0的式子叫做二次根式，“根号.

活动意图说明：采用从具体到抽象的方式，用分式、整式、算术平方根表示结果，引导学生讨论，观察它们的共同特征，概括归纳得到二次根式的概念，并强调“被开方数非负”. 环节三：辨析概念，巩固知识

教师活动3 例1：下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？

⑴5；⑵3；⑶321；⑷学生活动3 在辨析中，加深学生对二次根式定3；⑸x21；⑹abab

2义的理解．

活动意图说明：通过例1识别二次根式，巩固概念，引导学生从概念出发进行判断，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．

环节四：初步应用，巩固知识

教师活动4 例2当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

①

1

x2

②x

③x

④x123学生活动4 通过听例2得讲解和练习1的书写，再次巩固落实对二次根式定义的理解．

解：

①由x-2≥0，得x≥2 ∴当x≥2时，

在实数范围内有意义．

练习1：当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ①

;

②

活动意图说明：通过例2求解二次根式被开方数中字母的取值范围，再次通过练习1的巩固来落实学生对定义的理解，并规范书写格式和解答过程．

环节五：比较辨别，探索性质

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教师活动5 问题1：比较a与0的大小.

分为a0和a0两种情况进行讨论. 小结：a表示非负实数a的算术平方根，

当a0时，a0；当a0时，a0.

总结：a（a≥0）是一个非负数．

问题2：

学生活动5 学生通过分两种情况讨论，得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数a跟我们以前学过的什么知识相类似？

的理解.

活动意图说明：通过讨论问题1、问题2提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力，强化学生对二次根式双重非负性的认识. 环节六：回顾总结，反思提升

教师活动6 学生活动6 1．本节课你有哪些收获？ 回顾所学知2．本节课你还有哪些困惑？

识，类比分3．我们以前学过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次式的学习来展望后续学根式应该进一步研究哪些问题？

习内容.

活动意图说明：师生共同回顾本节课学习的概念、困惑，再一次突出本节课的学习重点，难点以及思想方法，并展望二次根式后续学习应该研究的内容，激发了学生学习兴趣．

7.板书设计

21.1.1二次根式

1、二次根式定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．

例2

练习1

8.课后练习设计

见PPT 9.特色学习资源分析、技术手段应用说明

分组讨论、多媒体运用

10.教学反思与改进

教学设计思路：本节课是在平方根知识的基础上，学习二次根式的概念，

二次根式是表示非负数（包括具体的数和表示数的字母）的算术平方根的一类式子，从算术平方根的意义出发，得到二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，而且二次根式的值是非负数，- 5 -

也即是二次根式的双重非负性．

学生已经学习了“整式”、“平方根”、“算术平方根”“分式”等知识，已经具备了学习二次根式的知识基础和心理基础，但学生刚认识二次根式，学习将有一定的难度，学生知识障碍点是二次根式的概念及运算，同时本章知识对学生思维的严谨性、分类讨论及类比的数学思想等都有更高的要求，如果学生不能很好的理解和正确的认知，将对今后的学习产生很大的影响，所以要求学生在发现、概括概念时积极探究、思考，并抓住概念要点会辨析，形成对概念的正确认识，并固化概念，实现真正的“学会”. 所以我设计了6个环节来实施教学，第1个环节“创设情境，提出问题”，第2个环节“合作探究，形成概念”，第3个环节“辨析概念，巩固知识”，第4个环节“初步应用，巩固知识”，第5个环节“比较辨别，探索性质”，第6个环节“回顾总结，反思提升”．

通过本节课的学习，让学生了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由。同时借助实例，从实际生活中抽象出二次根式，感受数学模型思想和应用价值，培养应用意识，体会分类讨论、抽象概括的思想；应用归纳法，在抽象得出二次根式的概念的过程中，体会知识之间的联系，感受普遍联系的辩证观念；并依据二次根式的定义，应用转化的思想，能确定被开方式中字母的取值范围；并应用分类讨论的思想，从算术平方根的数学意义得出二次根式的双重非负性，理解二次根式的双重非负性。通过总结提升，类比分式的学习来展望二次根式后续学习内容，激发学生树立学好数学、应用数学的信心和意识．

设计亮点：通过设计2个分类讨论活动让学生发现、概括二次根式的概念，以及探究二次根式双重非负性的性质。通过采用PPT和教具让学生对从实际问题中产生的式子进行分类活动，让学生体验了分类的依据是不重复不遗漏，并通过分类活动为学生概括二次根式概念进行了铺垫。再通过分类讨论活动探讨二次根式的双重非负性，这2个活动让学生体会到了分类讨论的思想。通过让学生对式子进行分类活动，让学生更加直观地归纳概括二次根式的概念，并依据定义确定二次根式字母的取值范围，让学生体会求二次根式被开方数中字母的取值范围，就是转化为不等式或（组）来求解，体现了转化思想．

授课反思：通过实例，由学生熟悉的知识出发，通过让学生对式子进行分类活动，让学生更加直观地归纳概括二次根式的概念，并依据定义确定二次根式字母的取值范围，以及探讨二次根式的双重非负性。充分让学生经历了发现、概括二次根式概念，并辨析、形成、固化二次根式概念的过程，这也是数学概念课教学的模式，能让学生通过本节课的学习对二次根式定义形成深刻的印象，同时也是为二次根式的运算学习以及其它概念的学习提供基本模式，让学生逐渐了解数学概念的归纳、形成、应用过程。在授课时各个环节之间语言的衔接要再流畅一些，启发学生思考回答问题时，语言点拨的更加精练些，实际授课效果会更好一些．

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