2.4 圆周角教学设计(教案)

圆周角（1）教学设计

教学目标

1、

理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并会运用它进行论证和计算.

2、

经历圆周角定理的证明，使学生了解分类证明命题的思想和方法，体会类比、分类的教学方法. 3、

通过学生主动探索圆周角定理及其推论，合作交流的学习过程，学习成长的快乐及数学的应用价值. 教学重点难点

教学重点

圆周角的概念、圆周角定理及其应用.

教学难点

圆周角定理的分类证明. 教学过程

一、情境导入

足球场上的数学

在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻,当他冲到A点时，同伴乙已经冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.问哪一种射门方式进球的可能性大？(提示：仅从射门角度考虑，射门角度越大越好.) 设计意图：让学生感受到生活之中的数学问题，激发学习兴趣. 二、自我探究

1、圆周角的概念

观察图形

∠APB的顶点P从圆心O移动到圆周上（电脑动画）. 教师指出∠APB是圆周角.由圆心角顺利迁移到圆周角.

学生对比圆心角的定义，尝试给出圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫圆周角.

辨析概念

判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.

思考特征

圆周角具有什么特征？

明确结论：①顶点在圆上；②两边都和圆相交. 设计意图：让学生能形象地感知圆周角，理解圆周角概念。

2、合作交流，动手操作

学生先动手画圆周角，再相互交流、比较，探究圆心与圆周角的位置关系，并请学生代表上讲台用投影展示交流成果.教师再利用电脑，动画展示圆心与圆周角可能具有的不同的位置关系，并由学生归纳出圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：

①

圆心在圆周角的一边上；

②

圆心在圆周角的内部；

③

圆心在圆周角的外部. 设计意图：学生动手画圆周角，进一步熟悉圆周角，另一方面，预先探究出圆心与圆周角的三种位置关系，将难点分散，为后面证明圆周角定理作铺垫，降低证明难度. 3、实验探究

探究问题

同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？

试验操作

学生利用手中学案，当圆心角分别是锐角（45）、钝角（110）和平角（180）时，动手测量出弧BC所对的圆周角∠BAC和∠BDC的度数，比较它们的大小，然后在优弧BAC上任意取一点E，测量∠BEC的度数，探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系.

猜想结论

同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

电脑验证

教师改变圆心角∠BOC的度数，再通过电脑测量弧AB所对的圆周角∠BAC和∠BDC的度数，进一步验证学生的猜想. 设计意图：学生合作交流，探究并猜想同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系，教师再通过电脑测量来验证，让学生进一步明确它们之间的关系. 4、证明定理

命题分析

命题：（电脑显示）同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 学生说出已知、求证.

问题：圆心与圆周角的三种位置关系中，哪一种位置关系最特殊？此时你能不能证明∠A= ∠BOC？

三种情况：

第一种情况：圆心在圆周角一边上；

第二种情况：圆心在圆周角的内部；

000

第三种情况：圆心在圆周角的外部。

定理证明

学生证明第一种情形（圆心在圆周角的一边上的情形）：

作直径AD. ∵OA＝OC

∴

∠A＝∠C

又∵∠BOC＝∠A＋∠C

∴

∠BOC＝2∠A

即∠A＝

∠BOC

利用基本图形（小红旗）及其对应的基本结论，引导学生证明当圆心在圆周角内部时的情形：

∵∠BAD＝

∠BOD，∠CAD＝

∠COD

∴∠BAD＋∠CAD＝

∠BOD＋

∠COD

即∠BAC＝

∠BOC

情形（3）的证明推导，学生自己完成，教师用电脑展示. 电脑动画展示：等圆中等弧的问题通过移动、旋转转化为同圆中中同弧的问题，从而得到圆周角定理：

圆周角定理

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 进一步，由学生分析出，当圆心角是180°时，圆周角为90°，再通过电脑动画展示，当圆心角逐渐变为180°时，对应的圆周角变为90°，从而得到圆周角定理的推论：

圆周角定理推论

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 设计意图：教师引导，学生证明出圆周角定理及其推论，验证其猜想的正确性，激发学生学习数学的兴趣与成就感.

三、应用巩固

例1 如图，如果∠A=60°，则∠BOD=____°，∠BDC=____°

例2 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是一定相等的角？

拓展

若∠1=∠2=60°，判断△BCD的形状并证明你的结论. 设计意图：及时巩固本节课所学的核心知识，并注重知识的延伸，拓宽学生思维的深度和广度. 四、解决问题：

解决问题情境中的足球问题：过点P 、B、Q三点作圆，建立相应数学模型，学生分析题意，给出问题的答案：

解法1：连结PD. ∵∠B=∠PDQ, ∠PDQ>∠A

∴∠B>∠A

∴将球传给乙,让乙射门好. 解法2：连结CQ. ∵∠B=∠PCQ, ∠PCQ>∠A

∴∠B>∠A

∴将球传给乙,让乙射门好. 设计意图：学以致用，数学来源于生活，服务于生活，运用数学解决问题. 五、总结拓展

1．本节学习的数学知识是圆周角的定义和圆周角定理及其推论. 2．本节学习的数学思想是分类讨论和转化思想. 设计意图：自我总结反思自己本节课的收获，养成良好的学习习惯。

六、作业巩固

设计意图：数学是“做”出来的，即要学又要练。运用本节课所学知识进行检测与反馈，进一步巩固、掌握所学新识