6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质优秀教学设计

三角函数的值域与最值的课堂说明

三角函数的值域和最值是三角函数的重要性质之一，是历年高考重点考查的知识点之一。三角函数的最值与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与前面复习过的函数、不等式、联系密切，综合性强，解法灵活，能力要求高，在复习完三角公式后，把三角函数的最值与值域作为专题复习，不仅可以帮助学生灵活运用三角公式，而且可以帮助学生掌握求最值和值域的方法，综合能力得到增强。本节课的重点是求三角函数的最值与值域，为了突出和强调本节课的重点，课前布置了学生整理求函数值域与最值的方法，设计了一些知识检测题给学生做，在上课之前，我通过批改学生的作业，了解学生对三角函数的最值与值域的掌握程度。在此基础上,设计了这节课,注重增强学生自主分析问题的能力,见招拆招,让学生学会真正的运用所学知识解决数学问题。

教学目标：

1．复习巩固函数求值域的方法；

2．结合三角函数的有界性解决三角函数的值域问题；

3．增强学生自主分析的能力

4．提高学生数形结合的意识和解决问题的能力

教学过程：

一、课前热身

1、求下列函数的值域

n1ycos2xcosxsinx

2y12six2coxs

3ysinxcosx1sinxcosx （4）y3sinx 3sinx说明：通过例题和习题的训练、讨论、分析、归类、方法总结，学生能比较系统掌握求三角函数的最值与值域的常用方法。1.“一次型”三角函数的值域和最值2.“二次型”三角函数的值域和最值3.换元法三角函数的值域和最值，利用sinxcosx,sinx+cosx,sinx-cosx这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系,利用平方关系通过换元法转化为定区间二次函数求最值问题。4

.

“分式型”三角函数的值域和最值的求法， 二、知识梳理

1.对于函数fxasinxb,可令

,化为一次函数

在区间

上的最值求解。

2.

对于函数fxasinxbcosxc(a0)，利用辅助角公式化为

的最值求解。

3．对于函数fxasinxbsinxc,令

，化为二次函数2_________________在区间________上的最值求解。

4．对于函数fxasinxcosxbsinxcosxc可令

，化为二次函数

在区间_____________上的最值求解。

5．对于函数y法）求解。

asinxb，根据正弦函数的有界性可转化为

问题（即反解csinxd说明：通过知识梳理，教会学生把三角函数式值域和最值问题转化为代数式的最值问题，转化为熟悉的问题来解决，同时能够利用三角函数解析式的特征，用几何方法解决三角函数式的最值问题.

同时培养学生树立“转化”的数学思想，提高学生数形结合的意识和解决问题的能力。

三、巩固提高

题型一：非R上三角函数求值域时，利用象限图或函数图求解

练习1、求函数fx3sinx4cosx,x0,的值域。

练习2、已知函数fx3sinx心完全相同，若x0,

练习3、已知函数f(x)0和gx3cos2x的图象的对称中6，则fx的值域是________。

23sinxcosxcos2x(0)的周期为

(1)求的值；

2(2)设ABC的三边a,b,c满足b2ac,且边b所对的角为x，求此时函数fx的值域。

练习4、已知sinxsiny1，求sinycos2x的最大值与最小值。

3

说明：本模块题型可以利用函数的图象求最值

，也可作代换，把括号内看作一个整t，用单调性求，前者画图不如后者简单，但后者一定要注意t的取值范围，课堂上，可以鼓励学生到黑板上画图分析，掌握换元法及其注意点。第4题通过减元法消去一个未知数，利用二次函数求最值，但要注意挖掘隐含的定义域，也是本题学生易忽略的一个地方。

题型二：含参求最值问题

练习5、已知函数fx2asin2x小值为－5，求a和b的值。

练习6、求fxcos2xasinx的最小值。

说明：这2道题均是含参数的三角函数求值域和最值的问题，第1题是一道逆向性问题，第2道题可化为含参的二次函数求最值，可以培养学生的分类讨论意识，从不同角度训练学生求三角函数最值或值域，强化学生对方法的灵活运用。

题型三：数形结合

练习7、求函数y

的定义域为b0,，函数的最大值为1，最62sinx1的值域。

2cosx

变式：求函数y

sinx1,x0,的值域。

2cosx211

sinxcosxsinxcosx，则fx的值域是________。22练习8、已知函数fx说明：此模块第1题上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。但变式题给出定义域后利用此方法很难给出定义域，就不能确定最值和值域，但可以根据解析式的特征可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，让问题可以容易的解决。第2题通过去绝对值符号

（备用题）练习9、函数fxMsinx0在区间a,b上是增函数，且faM,fbM，则函数gxMsinx0在(

) 。

(A)是增函数

(B)可以取得最大值M

(C)是减函数

(D)可以取得最小值M

四、总结

五、作业（作业卷77）

a,b上