2.6.3 曲线的交点教案设计（一等奖）

数形结合的应用(预习案) 【概念和应用】

数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在三角函数解题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取做到胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。

一、课前自我检测

1.

已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是________.

2.若不等式4xx2(a1)x的解集为A，且A(0,2).则实数a的取值范围是________________

3.不等式x21ax1对xR恒成立，则实数a的取值范围是_____

4.函数u3x68x的值域为___________

我思我疑：_____________________________________________________ _____________________________________________________

数形结合的应用(教学简案) 一、学生课前预习情况分析

1．预习情况抽测

2．典型错误剖析

二、典型例题探究

[微题型1]

利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点

【例1】若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________. 解析

由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，

可得|2x－2|＝b有两个不等的实根，

从而可得函数y＝|2x－2|的图象与函数y＝b的图象有两个交点，如图所示.

结合函数的图象，可得0＜b＜2，故填(0，2).

探究提高

用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数.

训练1.已知x1是10xx3的根，x2是lgxx3的根，则x1x2________答案：3 [微题型2]

利用数形结合思想解不等式或求参数范围

【例2】

(1)若不等式9－x2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________. 1(2)若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值2范围是________. 解析

(1)如图，分别作出直线y＝k(x＋2)－2与半圆y＝9－x2.由题意，知直线在半圆的上方，由b－a＝2，可知b＝3，a＝1，所以直线y＝k(x＋2)－2过点(1，22)，则k＝2.

1(2)作出y＝|x－2a|和y＝2x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤21－2a，故a≤2.

1答案

(1)2

(2)－∞，2

探究提高

求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答.

训练二、已知圆O：x2y21,圆M：(xa)2(y3a)21.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A、B，使得APB60，则实数a的取值范围

是__________________________1331答案：[,][,]

2222[微题型3]

利用数形结合思想求最值

【例3】求函数u2t46t的值域

解析：设x2t4,y6t,则x22t4,y26t,消去t,x2y2得x2y16,即1,(0x4,0y22),168则函数转化为含参数u的直线yxu,22

如图，知当直线经过点(0,22)时，u取最小值为22当直线与椭圆相切与第一象限时，u取最大值为26y 22O

4 x

探究提高

破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论

三、课堂总结

1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的. 2.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的. 3.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象. 四、当堂训练

1、经过P(0,1)作直线l,若直线l与连接A(1,2),B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角的取值范围分别是_____________,_______________2、已知函数f(x)x23x,xR,若方程f(x)ax10恰有4个互异实根，则实数a的取值范围是____________

3、已知圆C：(x-3)2(y4)21和两点A(m,0),B(m,0)(m0),若圆上存在点P，使得APB=90，则m的最大值

为____________