2.2.1 椭圆的标准方程公开课教案（教学设计）

教学设计方案

课题名称

一、教学内容分析

1．《椭圆及其标准方程》分三课时完成. 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路。

本节是第一课时. 2．本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。

椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。

3．运用多媒体形象地给出椭圆，通过让学生自已动手作图，“定性”地画出椭圆，再通过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形式概念，推出方程。

椭圆及其标准方程（第一课时）

二、教学目标

1．

知识与技能

（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；（2）能根据已知条件求椭圆的标准方程；

2．

过程与方法

（1）让学生经历椭圆概念的形成过程，培养学生动手能力和合作学习能力，锻炼学生观察分析和归纳概括能力；

（2）通过椭圆标准方程的推导过程，使学生进一步理解曲线与方程的概念，体会用建立曲线方程的基本方法——坐标法，渗透数形结合思想，培养计算能力。

（3）在求解椭圆的标准方程的过程，使学生掌握待定系数法，并渗透分类讨论思想。

3．情感、态度和价值观

（1）亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美（对称美、简洁美）的熏陶；

（2）通过主动探索，合作交流，体会数学的理性和严谨；

（3）通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质和锲而不舍的钻研精神，养成扎实严谨的科学态度。

教学重点：椭圆的定义及其标准方程

教学难点：椭圆的标准方程的推导与化

三、学习者特征分析

1．在此之前，学生已学过坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够，

2．从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍. 3．在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要。

4．该班学生是高二文科生，数学基础整体较差。

5．经过近一学期的引导、鼓励，学生学习数学的积极性较高。

四、教学过程

一、创设情境，引入课题

几何画板演示一些天体运行的轨迹图，并提出问题——这些天体运行的轨迹是什么？

学生经过观察，很直观地看出是椭圆。

问：你能不能列举生活中椭圆的例子？从而引出课题

[设计意图]激发学习兴趣，了解生活中有椭圆，说明研究椭圆的必要性。

二、实验探究，形成概念

1、取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图版的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是什么？（回顾圆定义）

2、如果把细绳的两端拉开一段距离，将圆心分开变成两个，绳子两端固定在这两个定点上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线。

学生活动：拿出事先准备的学具，动手合作操作，画出椭圆。教师活动：用教具画椭圆。

3、在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

4、你能自己归纳椭圆的定义吗？

学生活动：学生观察分析、归纳定义，老师补充概括，给出椭圆定义，并引导学生注意对关键条件。

5、为什么常数要大于F1F2呢？（教师操作，学生观察分析三种情况。）

[设计意图]在“做”中学，通过画椭圆的实验操作，经历概念的形成过程，积累感性经验。同时培养学生动手操作、观察分析、归纳概括的能力，引导学生自主合作探究，变被动为主动。

三、师生互动，推导方程

回顾求曲线方程的基本方法——坐标法，及其它的解题步骤。

1、

建系设点：思考：观察椭圆的形状，怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？

（根据椭圆的对称性建系）。

2、

写出点集：根据椭圆定义，写出椭圆上动点满足的几何条件；

3、

列出方程：坐标代入（距离公式）；

4、

化简：问：两个根式之和的等式，如何化简？

预想1：学生可能会想直接平方

对策1：将错就错，直到学生感到困难，算不下去，出现困惑，老师在引导。

预想2：学生直接提出将一个根式移到另一边

对策2：顺着学生思路走，但追问为什么这么做，点明思路。

2222学生活动：继续化简，两次平方，整理，得到：

xy1(ac0)222aac

问：这个方程形式上还不够简洁对称，我们设bac，跟勾股定理公式很像，如果把a,c,a2c2看作一个直角三角形的三边，你能从椭圆图形中找出这样的直角三角形吗？（学生观察分析，明确b的几何意义。）

5、

证明。

222四、类比推广，对比归纳

[师总结]焦点在x轴上椭圆标准方程，以及a,b,c之间关系。

问：如果焦点F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐标分别为(0,c),(0,c)，a,b的意义同上，这时椭圆的方程是什么？

生：x、y互换，得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程。

活动：教师列表格，学生对比归纳两种标准方程的相同点与不同点。

[设计意图]通过对比总结，加深对椭圆标准方程的理解，使学生体会类比的思想方法，为后面学习双曲线、抛物线打基础。

五、应用举例，归纳点评

例1

判定下列椭圆的焦点在哪个坐标轴上，并写出a,b,c的值。（提问，学生口答）

[方法小结] （1）哪个分母大，焦点落在哪个坐标轴上；（2）a,b,c之间的关系：x2y2(1)12516x2y2(2)221(m0)mm1(3)9x24y236a2b2c2，其中a最大。

例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程。（给学生思考时间，找两个学生上黑板写出解题过程）

（1）两焦点坐标分别是(0,2),(0,2)，且椭圆经过点(35,)；

22（2）焦距为8，椭圆上一点P到两焦点距离之和为10；

（3）经过两点A(1,337（有时间才出示第3小题）

),B(,)。224[方法小结]

用待定系数法求椭圆的标准方程

思路一：几何视角

（1）根据焦点位置方程形式；

（2）根据椭圆定义确定a，b，c；

（3）写出椭圆的标准方程

思路二：代数视角

（1）根据焦点位置确定方程形式；

（2）根据条件列方程组，求解a2,b2；

（3）写出椭圆的标准方程。

（从定位到定量）

六．课堂练习

x2y21361. 如果椭圆100 上一点P到左焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离是 x2y212. 已知经过椭圆 2516 的右焦点

作直线AB交椭圆于A，B两点，F1

是椭圆的左焦点，则△AF1B 的周长为

七、课堂小结

1. 椭圆的定义（强调关键条件）；

2．椭圆的标准方程（表格，a,b,c关系）；

3．求椭圆的标准方程——待定系数法；

4．数形结合，分类讨论思想。

八、拓展探究

x2y21表示焦点在y轴上的椭圆，k的取值范围是 若方程k23k变式：

x2y21表示椭圆，k的取值范围是 （1）若方程k23kx2y21表示焦点在y轴上的椭圆，k的取值范围是 （2）若方程k23k五、教学策略选择与信息技术融合的设计

教师活动

几何画板演示一些天体运行的轨迹图，并提出问题——这些天体运行的轨迹是什么？

学生经过观察，很直观地看出是椭圆。

预设学生活动

设计意图

激发学习兴趣，了解生活中有椭圆，说明研究椭圆的必要性。

1、取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图版的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是什么？（回顾圆定义）

2、如果把细绳的两端拉开一段距离，将圆心分开变成两个，绳子两端固定在这两个定点上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线。

3、在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

4、你能自己归纳椭圆的定义吗？

5、为什么常数要大于F1F21.拿出事先准备的学具，动手合作操作，画出椭圆。教师活动：用教具画椭圆。

2.学生观察分析、归纳定义，老师补充概括，给出椭圆定义，并引导学生注意对关键条件。

在“做”中学，通过画椭圆的实验操作，经历概念的形成过程，积累感性经验。同时培养学生动手操作、观察分析、归纳概括的能力，引导学生自主合作探究，变被动为主动。

呢？（教师操作，学生观察分析三种情况。）

1建系设点：思考：观察椭圆的形状，怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？（根据椭圆的对称性建系）。

2写出点集：根据椭圆定义，写学生活动：继续化简，两出椭圆上动点满足的几何条件；

次平方，整理，得到：

3列出方程：坐标代入（距离公

式）；

4化简：问：两个根式之和的等式，如何化简？

[师总结]焦点在x轴上椭圆标准方程，以及a,b,c之间关系。

问：如果焦点F1,F2在y轴上，且通过对比总结，加深对椭圆标准方程的理解，使学生体会类比的思想方法，为后面学习双曲线、抛物线打基础。

F1,F2的坐标分别为x、y互换，得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程。

(0,c),(0,c)，a,b的意义同上，这时椭圆的方程是什么？

六、教学评价设计

1、评价内容：课堂表现评价、学习效果评价

2.评价方式：

课堂表现评价采用教师依据学生学习态度、积极参与、认真听课、完成课堂练习等进行定性评价，分优秀、良好、合格、有待提高四个等级，比例为2：3：4：1 学习效果评价采用课堂学习效果评价+作业方式评价，内容有画图（定性）课堂练习、课后作业（定量，根据完成情况及正确程度评分，满分10分）课后探究（定性）等

点评：本环节是对本课进行一个总结回顾，从而让学生对所学的知识技能有一个归纳总结

教学设计成果评价量表

等级

一级指标

分值

二级指标

优

良

中

一般

概述

5 说明学科、年级、教材版本，学习的内容和本节课的价值及重要性

从学生角度确定教学目标，目标阐述清楚、具体，可评价

5 5 3~4 3~4 2 2 0~1 0~1 学习目标分析

15 结合新课程标准，知识、技能、过程和情感体验并重，重视学生多元智能和创造性思维的培养

处理好课标要求和拓展之间的关系

分析学习者起点能力，包括认知能力特征分析、认知结构分析、特定的知识和能力基础特征分析

分析学习者的学习态度、学习动机和学习风格

有创新，符合学科特点、能激发学生的兴趣，符合学生的年龄特征

5 5 5 3~4 3~4 3~4 2 2 2 0~1 0~1 0~1 学习者特征分析

10 5 5 5 5 5 3~4 3~4 3~4 3~4 3~4 2 2 2 2 2 0~1 0~1 0~1 0~1 0~1 教学策略分析

15 教学方法和策略可操作性强，便于实施

目的明确、阐述清晰

媒体容易获得，媒体选择与设计符合学习者特征和教学的要求

教法上有创新，能激发学生的兴趣，符合学生的年龄特征，有利于学生的学习以及高级思维能力的培养

媒体的选择与设计

5 5 3~4 2 0~1 教学过程设计

20 方案简单可实施，对教学环境和技术的要求不高，可复制性强

各个教学环节描述清晰，能反映教学策略以及师生的活动

格式规范

5 5 5 5 5 5 5 5 5 3~4 3~4 3~4 3~4 3~4 3~4 3~4 3~4 3~4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0~1 0~1 0~1 0~1 0~1 0~1 0~1 0~1 0~1 教学评价

10 注重形成性评价

有明确的评价标准，提供了评价工具

资源符合学习者的特征、有利于主题的表达和目标的教学

教学资源

20 资源内容丰富，并且正确、科学

表现形式合理，简洁明了、具有很强的表现力

尊重知识产权，说明资源来源和出处

七、教学板书

椭圆的定义及标准方程

1.椭圆的图形 3.例1的解题过程

2.标准方程的推导 4.例2的解题过程

①焦点在X轴上的椭圆

②焦点在Y轴上的椭圆

八、教学反思

本节课围绕“层层设问 ——自主探索 —— 发现规律 —— 归纳总结”这一主线展开，对教材内容进行优化组合，在教学过程中，学生通过观看图片，动手实践，自己总结出椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力. 同时在进行推导椭圆的标准方程的过程中，提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力. 在整节课中，教师作为引导者，利用“神舟7号”围绕地球运行轨迹的演示，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索

，勇于创新，提高学生参与数学活动的兴趣和积极性，同时设置了不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程.增强了学生的自信心，基本体现了新课标中让学生自主学习的教学理念.