2.2.1 椭圆的标准方程教学设计及课堂实录

教材分析：

《椭圆的标准方程》选自普通高中课程标准实验教科书——数学（苏教版必修1-1）。这部分内容与人教版教材相比减少了椭圆定义的教学（前一节教学内容），重点是椭圆标准方程的教学，其推导过程占有重要地位。采用动手操作与直观感知的方法探索椭圆的标准方程。它是继直线与圆及圆锥曲线定义了解后的内容，通过类比符合学生的认知规律，起到承上启下作用，为今后学习双曲线，抛物线打下坚实基础。

学生分析：

所教对象是高二的学生，这一阶段的学生的形象思维，逻辑思维有了一定的基础。在教学中可以让学生通过类比，总结，亲自动手尝试推导来的椭圆的标准方程，把感性认识上升到理性认识。在教学时要在学生已有的知识经验和认知规律上采用合情合理的办法引导学生认识椭圆的标准方程。

设计理念：

通过实际生活中应用椭圆的图形展示（多媒体），引发学生学习椭圆的兴趣；通过问题情境，激发学生研究椭圆的标准方程的热情，同时在人知的基础上，通过与求圆的标准方程相类比，推导椭圆的标准方程；通过热身小练习和例题，加深对椭圆的标准方程的理解与应用；通过开放性的小结，培养学生的归纳思维，发散思维和想象思维。

教学目标：

1．知识与技能: (1)通过建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆标准方程。

(2)能用标准方程判定曲线是否是椭圆。

(3)在已有经验（直线，圆方程及求法）的基础上，进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，渗透数行结合的数学思想。

2．过程与方程:

通过实际背景感受椭圆应用，提出研究课题“椭圆的标准方程”。类比求圆的标准方程，通过学生自主探究，使学生经历椭圆标准方程的产生和形成过程。同时渗透数学思想，培养分析问题和解决问题的能力。

3．情感、态度与价值观：

通过自主探究、讨论合作使学生亲身体验知识研究形成的过程，从中体味快乐，由此激发学生积极主动的学习精神。通过多媒体展示，使学生体会椭圆方程结构的和谐美、简洁美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。

[来源:学科网]教学重点：

1．

感受建立曲线方程的基本过程。

2．

掌握椭圆的标准方程形式和求法。

教学难点：

椭圆的标准方程的推导及应用

课前准备：

多媒体，实物投影仪，三角尺

教学过程：

一：问题情境

情景1：体育场的外形（阳光照射下的影子）。

情景2：汽车贮油罐的横截面的外轮廓线形状

情景3：我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道

情景4：动画演示经过均匀压缩将圆变形为椭圆的过程。

问题一：上述图形像椭圆，那么是不是数学概念上的椭圆曲线呢？

问题二：怎样来验证上述曲线是椭圆？

引出课题：椭圆的标准方程

二：学生活动

联想曾经学习的圆的标准方程，通过什么方法来推导的？回顾求曲线方程（坐标法）的一般步骤：

（1）建系

（2）设点

（3）列等量关系

（4）坐标化

（5）化简，检验

问题三：如何建立椭圆的标准方程？（通过类似求圆的标准方程的坐标法）

三：建构数学（由学生参与整个推导过程）

回顾椭圆定义:设椭圆的两个焦点F1,F2，它们之间的距离为2c,椭圆上任意一点到F1,F2的距离和为2a(2a2c)

解:以F1F2所在直线为x轴,

以它的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则F1(c,0),F2(c,0)

设P(x,y)为椭圆上任意一点坐标,根据椭圆的定义知: PF1PF22a(如图) 2222即(xc)y(xc)y2a

2222222移项,两边平方,得(xc)y4a4a(xc)y(xc)y

222即acxa(xc)y

两边在平方,得a2acxcxax2acxacay

整理得: (ac)xaya(ac)

2222222242222222222a2c20,令b2a2c2(b0)

x2y2于是得: bxayab

整理得: 221(ab0)

ab222222y

P

F1 O F2 x

注意:(1)含根式的方程的化简技巧

(2)椭圆方程形式的和谐,对称,简洁美

（注意对标准方程形式的美加以强化，让学生亲自体会到数学中的美无处不在，无处不有）

y2x2若椭圆如图所示在直角坐标系中,则椭圆的标准方程为221(ab0))(可以ab从结构上的变化猜想出结论)

P y F2

O F1 x x2y2结论:椭圆的标准方程为:当焦点在x 轴上时, 221(ab0)

aby2x2

当焦点在轴上时, 221(ab0)

ab问题三:如何根据方程的形式判断椭圆的焦点位置?

四:数学应用

(一)

热身练习: 1、填空：

x2y212516

(1)已知椭圆的方程为 ，则a=___，

b=___，c=____，焦点坐标为____________

(2)已知椭圆的方程为 ,则a=___， b=___，c=____，焦16x29y2144点坐标为____________ 2 、求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)a=4,c=1，焦点在y轴上； (2)b=1,c= 15 ，焦点在坐标轴上

(二)例题讲解

例1:已知一个运油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆.它的焦距为2.4米,外轮廓线上的点到两个焦点的距离的和为3米,求这个椭圆的标准方程. y P F1

O F2

x

解:以F1F2所在直线为x轴,

以它的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则这个椭圆的标准方程x2y2可设为: 221(ab0)

ab2c2.4,2a3由题意a1.5,c1.2

b2a2c21.521.220.81x2y21

所以这个椭圆的标准方程为:

2.250.81

（由学生加以反思）

评注(1)帮助记忆,巩固椭圆的标准方程

(2)说明椭圆(圆锥曲线)在实际生活中应用的广泛性

(3)待定系数法求曲线方程

(数学来源于生活,又服务于生活)

例2.将圆xy4的点的横坐标保持不变,纵坐标变为

22

o x

原来的一半,求所得曲线的方程,并说明它是什么曲线? 解:设所得的曲线上任意一点坐标为p(x,y) 圆上对应的点的坐标为(x',y')

x，x由题意得:

，y2y

因为

x'y'4x4y42222

x2y21,这就是变换后所得曲线的方程.它表示一个椭圆.

即4

（由学生加以反思）

评注(1)运用方程证实猜想:椭圆可以永远压缩变换得到. (2)揭示了椭圆与圆的内在联系,为将来运用这种内在联系进行类比探索,从圆的有关性质发现椭圆的相关性质作准备. (3)介绍一种证明曲线类型的方法:根据方程形式进行判定.

（4）中间变量法求椭圆的标准方程。

五:回顾与总结

（先由学生自己总结所学到的有关椭圆的知识及其中的数学思想方法）

1．

椭圆的概念

椭圆的定义[来源:学科网]

y PF1PF22a(2a2c0)

y P Fx O FFx P 图形

FO 标准方程

x2y21(ab0)

a2b2[来源:学|科|网Z|X|X|K]y2x21(ab0)

a2b2

焦点坐标

F1(c,0),F2(c,0)

F1(0,c),F2(0,c)

[来源:Z*xx*k.Com]

a,b,c的大小关系

b2a2c2(ab0,ac0)

焦点位置的判断

分母哪一个大，分母所对的轴就是焦点所在的位置

2．

求椭圆的标准方程的方法：待定系数法，中间变量法

3．

数学思想方法：数形结合，分类讨论

六：作业

30页习题1，2 七：教学后记

本节课是在经历圆锥曲线形成的过程（用平面对圆锥面的不同截法）之后，具体地对“椭圆”这一重要的圆锥曲线展开深入学习。通过实际背景，感受椭圆的广泛应用，进而由“是不是椭圆及如何设计椭圆”提出研究课题：怎样建立椭圆的方程？以激发学生的积极性。同时也为如何根据方程研究椭圆的性质埋下伏笔。

本节课坚持“自主学习，主动发展”的教学理念，通过直观感悟、画图操作、代数推理、讨论等形式，使学生的感性认识上升为理性思考，初步掌握椭圆的标准方程以及能根据已知条件求椭圆的标准方程。教学时渗透数学思想方法（数形结合，分类讨论等），突出教学重点，突破教学难点，教学目标基本完成。