实习作业教案教学设计导入设计

《直线与平面垂直的判定（一）》教学设计

香城中学 冯开艾

一、教材、学情及目标分析

1、教材内容和地位分析

垂直关系是立体几何中的最重要的关系之一，而线面垂直是继空间中平行关系之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例，是联系空间中直线与直线垂直和平面与平面垂直的纽带，是探究后续内容空间角、距离的基础。本节内容是学生体验感悟由特殊到一般、类比、归纳、化归等数学思想方法与应用的过程，是培养学生数学直观想象能力和逻辑推理能力的重要载体，因而直线与平面垂直的判定的教学在立体几何有着举足轻重的作用。

本节课的内容包含直线与平面垂直的定义和判定定理两部分内容。其中直线与平面垂直的定义是判定直线与平面垂直的最基本方法和性质，是探究判定定理的基础；而直线与平面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，蕴含了平面化，降维，化归等数学思想。类比线面平行的研究为，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间直线与平面垂直的定义；通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。

2、学情分析

学生已有通过直观感知、操作确认、思辨论证来研究线面平行的经验，对空间概念建立了一定的基础，同时也有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力。但理解“平面化”和“降维”的思想，会给学生造成一定困难，而学生的能力发展虽然处于从形象思维向抽象思维转折阶段，但更侧重形象思维。

3、教学重难点

教学重点：直线与平面垂直的定义生成过程，直线与平面垂直的判定定理的探究归纳过程。

教学难点：直线与平面垂直的定义的生成，操作确认直线与平面垂直的判定定理. 4、教学目标

（1）借助生活中直线与平面垂直的实例，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，能够抽象出直线与平面垂直的定义，提升数学抽象和直观想象素养；

（2）借助折叠三角形纸片，通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，提升直观想象和逻辑推理素养；

（3）能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，提升逻辑推理素养。

5、教学分析过程中的困惑与突破策略

基于上述分析，困惑（1）定义教学中如何化“实”为“虚”，现实生活中直线与平面垂直的情境随处可见，怎样突破难点合乎情理的化为数学抽象中的“虚”；困惑（2）定理探究中如何“降维”，实现从平面“任意”一条直线到平面内“两条”“相交”直线，让学生体会其中的化归思想；困惑（3）课标对判定定理只要求通过直观感知、操作确认来归纳，并不进行严格的思辨论证，这与立体几何目标在于培养学生的严谨的逻辑推理能力相冲突，该如何化解，顺利的将直观感知、操作确认与思辨论证统一。

为解决教学分析中的困惑，采取策略（1）图片展示，将生活中的“实”转化为数学语言

中的虚，再将数学语言中的虚转化为数学抽象中的虚，即将生活中的模型（例如旗杆与底面的位置关系）转化为数学模型（直线与平面的位置关系）；策略（2）采用“启发——探究式”教学，借助直线与平面平行的判定定理进行类比，引导学生猜想；策略（3）在直观感知、操作确认过程中融入思辨论证，以问题引导学生进行数学思维活动分析。

二、教学过程

1、创设情境、引出课题

问题1：直线与平面有哪些位置关系？ 问题2：研究了直线与平面平行的哪些内容？蕴涵了哪些数学思想？

【设计意图】以问题串的形式复习线面关系，引导学生回忆其中蕴含的降维、平面化、无限转化为有限的数学思想，为本节课的研究埋下伏笔、垫定基础。

问题3：同学们能举出日常生活中呈现的直线与平面相交的例子吗？

活动1：请同学们观察图片,观察旗杆所在直线与地面、斜塔所在直线与地面的位置关系。思考两个图片所呈现的位置关系的有区别吗？

【设计意图】感受“直线与平面垂直”的直观形象，并认识到直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊和普遍情形，感悟从特殊到一般的研究思路。

2、定义建构

问题4：该如何给直线和平面垂直下定义呢？

活动2：动画演示旗杆和其在地面影子的变化，观察旗杆所在直线与影子所在直线的位置关系。

问①：旗杆AB与地面上不过旗杆底部B的直线B1C1的位置垂直吗？ 问②：旗杆所在直线和平面内任意一条直线垂直吗？

【设计意图】通过对动画的观察，引导学生发现到当直线与平面垂直时，直线与平面内任意直线都垂直的事实

，完成对定义必要性的剖析。其中重点让学生体会直线与平面内不过垂足的直线也垂直。

活动3：①若铅笔所在的直线与平面内的任意一条直线都垂直，能判定直线与平面垂直吗？

②若铅笔所在的直线与平面内的无数条直线都垂直，能判定直线与平面垂直吗？

（学生行为：同桌合作、用笔进行操作，思考交流，并汇报探究结果。）

【设计意图】在操作中融入思辨，将对定义的辨析置前。活动①的目的在于操作确认定义的充分性，确认定义的充要性，力求使定义的生成朴实自然。活动②是对定义当中的关键词辨析。整个活动使学生的思维主动参与、自主探索，促进学生思维的深度思考，锻炼思维的严谨性而不是被动接受课本上的现成结论。借助现有工具的操作帮助学生建立对定义的直观感受，提高学生动手能力、合作意识，而且为直线与平面的判定定理的教学埋下伏笔。

问题5：如何定义直线与平面垂直？图形语言、符号语言分别如何表示？

设计意图：让学生表述直线与平面垂直的定义，教师引导学生用图形语言、符号语言表示，并在这个过程中及时修正学生的表述，培养学生不同语言之间的转化能力。

3、直线与平面垂直的判定定理

问题6：如何判定旗杆所在的直线与水平地面是否垂直？

问题7：能不能像判定直线与平面平行那样，利用直线与平面内的一条直线垂直来判定直线与平面垂直？

问题8：能不能像判定平面与平面平行那样，利用直线与平面内的两条直线垂直来判定直线与平面垂直？

追问①：如果是直线与平面内的两条平行直线垂直是否能判定直线与平面垂直？

追问②：两条相交直线是否可以判定？ 【设计意图】引发学生认知冲突，认识到寻求平面与直线垂直的判定方法的重要性。再通过问题引导利用类比思想，平面化的思想寻找线面垂直的判定方法，提出猜想，让学生体会由无限转化为有限、降维、平面化的思想。（其中针对两条相交直线的情形进行折纸实验）

活动4——折纸试验

实验1：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：

（1）折痕AD与桌面垂直吗？

（2）为什么AD与桌面不垂直？

【设计意图】使学生认识到折痕不垂直的原因是不符合定义，目前定义是判定直线与平面垂直的唯一方法，深化对概念的认识，同时明确存在直线与平面内一条直线不垂直，则该直线与平面不垂直，为接下来的实验中的思辨论证做铺垫。

实验2: (1)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

追问：为什么AD与桌面垂直？

【设计意图】直观感知直线与平面内两条相交直线垂直时直线与平面垂直，但是“猜想”仍未得到认证，引起学生的认知困惑，“直观感知对吗？”“当直线与平面内两条相交直线垂直时能得到直线与平面内任意直线垂直吗？”通过问题继续引领学生思维活动。

实验3：如图所示，当AD⊥BC时，固定折纸的ABD部分，保持BD与DC紧贴桌面，让折纸的CAD部分绕着AD旋转，观察AD的变化.

问①：旋转过程中AD是怎样变化的，直线AD与桌面垂直吗？

问②：翻折旋转的过程中，哪些量变了，哪些量没变？

问③：旋转过程中能否保证直线AD与平面内的所有直线都垂直？

【设计意图】通过旋转实验，使学生在操作中认识到旋转的过程中折痕AD位置未发生变化，始终与桌面（平面）垂直，且折痕AD与桌面（平面）内任意一条过点D的直线都垂直，再由异面直线垂直的知识可知，折痕AD与桌面（平面）内任意直线都垂直，建立起判定定理与定义之间的联系，帮助学生理解判定定理的本质，深化学生对定义的理解，在操作确认过程中达到思辨论证的目的。在实验过程中感悟数学中的“转化”思想，提升学生的几何直观，逻辑推理等数学素养。

问题9：直线与平面垂直的判定定理是什么？图形语言、符号语言分别如何表示？

设计意图：让学生归纳直线与平面垂直的判定方法，教师引导学生用图形语言、符号语言表示，并在这个过程中及时修正学生的表述，培养学生不同语言之间的转化能力，并强调平面内两条相交直线的任意性。

活动5：课外知识阅读

直线与平面垂直的判定定理的证明教材并未给出严格的证明，目前高中课本中对定义的证明将在后续学习选修2-1的内容中借助空间向量给出严格的证明。而在18世纪-20世纪的早期教科书中对该定理的证明主要有6种证明方法，分别为欧氏证法、勒让德证法、等腰三角形法、对称法、引理法和阿达玛证法，分属两个传统：欧几里得的传统(证明任意直线与己知直线垂直)以及引理法的传统(垂直于己知直线的平面与已知平面重合)。前者经历了由繁至简的过程：最早的教科书作者沿用欧氏证法；接着，勒让德创用的新方法取代了旧方法;然后，等腰三角形法登上舞台;最终，对称法脱颖而出，一枝独秀。

【设计意图】课标中放弃了对判定定理进行严格证明，虽然折纸实验论证了定理让学生认识到定理的真实性和合理性，但仍未从数学语言上给出严格的逻辑推理论证，通过课外知识的阅读不仅介绍了数学史，在教学中提升学生的人文素养，更让学生意识到定理是能通过多种方式证明的，给学有余力的同学提供课外探究的素材。

4、运用定义和定理，加深对知识的认识。

例1：已知正方体ABCDA1B1C1D1. （1）证明：DD1平面ABCD； （2）证明：DD1AC；

（3）证明：AC平面D1DBB1; AD1A1B1C1DBC（4）证明：ACDB1. 【设计意图】以学生熟悉的正方体为模型，设计四个问题，集中体现了本节课所学重点，使学生能运用定义和判定定理进行线线垂直与线面垂直之间互相转化，突出知识间的内在联系，呈现严密的逻辑推理过程和规范的书写表达，同时为下一个问题情境做铺垫。

探究：侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，有ACBD，说明你的理由. 1

【设计意图】进一步领会解决问题的思路和方法，由已知想可知（性质），由未知想需知（判定），合理选择辅助面，体会线线垂直与线面垂直之间的转化思想。

练习1:在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，求证：（1）AD⊥平面PBC；（2）AD⊥PC. P

D

C

A

B 【设计意图】使学生能在不同情境对知识进行运用，以达到知识间的融会贯通，同时检测本节课的教学目标，进一步培养学生的逻辑推理能力。

5.反思总结

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些知识与方法？

（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？

（3）直线与平面垂直的判定定理中体现了什么数学思想方法

？

【设计意图】从知识、方法、思想三个方面提炼本节课内容，在归纳和反思的过程中，不断加强学生学习的规范化和系统化，培养学生严谨务实求真的科学态度。