3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优质课教案内容

§3.1.1《直线的倾斜角与斜率》

【学习目标】

1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系．

2．掌握过两点的直线的斜率计算公式，及其简单的应用．

第1课时

【先学自研】

一、直线的倾斜角

1、定义：

⑴当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基准，x轴 与直线l 之间所成的角叫做直线l的 ；

⑵当直线与x轴平行或重合时, 规定它的倾斜角 . 注意：⑴定义中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角。

⑵倾斜角是一个几何概念，它直观的描述且表现了直线对x轴正方向的倾斜程度；

⑶平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等；

2、直线倾斜角的取值范围： 二、直线的斜率

1、定义： ⑴当倾斜角90时，

它的 叫做这条直线的斜率，常用 表示，即 . ⑵当倾斜角90时,它的斜率 . 2、斜率与倾斜角的对应关系

图示

y O α=0°

x

y O x

y O α=90°

x

y O x 倾斜角

斜率

k0

k0

3、经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式： 思考：⑴当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还成立吗？ ⑵当y1y2时，斜率k ；直线的倾斜角 ；

⑶斜率k与点P1,P2的顺序有没有关系？ 【互动探究】

探究：直线的倾斜角α越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？k与α有什么关系？

1

【点拨讲解】

例1、经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. ⑴A(2,3)，B(4,5) ⑵C(2,3)，D(2,1) ⑶P(3,1)，Q(3,10)

变式：过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l位置，求l的斜率.

例2、如果直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l，求直线l的倾斜角和斜率．

变式1：如下图所示，表示直线l的倾斜角的是______(填上所有正确图形的序号)．

变式2：设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l，则直线l的倾斜角为( ) A.45 B. 135 C. 135

D.当0135时为45，当135180时为135

变式3：已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线l的倾斜角为 . 变式4：已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 .

第2课时

【点拨讲解】

例3、⑴

经过两点A(－m，6)、B(1，3m)的直线的斜率为12，则m=

⑵经过两点A(m，2)、B(－m，2m－1)的直线的倾斜角是60°，则m

=

⑶求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角的取值范围．

变式：直线l经过A(2,1)，B(1,m)(mR)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（ ）

A.[0,180) B.[0,45][135,180)

C.[0,45] D.[0,45](90,180)

2 2

B(4,1)，C(4,m)三点在同一直线上，例4．(1)如果A(2m,)，则m的值为 ；

(2) 若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则

变式：已知以点A(a,2)，B(5,1)，C(5,11)为顶点不能构成三角形，则a= .

例5．⑴若直线的倾斜角的范围是,，则直线的斜率k的范围是 ；

44

⑵若直线的斜率k满足－3

⑶已知一条直线倾斜角的正弦值是

第3课时

例6．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0,3)为端点的线段有公共点，求直线l的斜

率和倾斜角的范围.

变式1：已知点P(1,2)，A(2,3),B(3,0), ⑴经过点P的直线l与线段AB有公共点时，求l的斜率的取值范围. ⑵经过点A的直线l与线段PB有公共点时，求l的斜率的取值范围；

3 5211的值等于________ ab33，则该直线的倾斜角的范围是 33，求此直线的斜率. 2

⑶经过点B的直线l与线段PA有公共点时，求l的斜率的取值范围；

变式2：

已知两点A(4，－3)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围；

【训练内化】

1．以下四个命题错误的是(

) ①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；③坐标平面上所有的直线都有倾斜角；④坐标平面上所有直线都有斜率．

A．①②

B．③④ C．①③

D．②④

2．若直线l的倾斜角为20°，则的取值范围是________． 3.已知过两点A(m2,m3)，B(3mm,2m)的直线l的倾斜角为45°，则m=

4.已知点P(3，2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为150°，则点Q的坐标为 ；

5.、若经过点A(1－t，1+t)和点B(3，

2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是

；

6.若直线l的倾斜角是连接P(3，－5)，Q(0，－9)两点的直线的倾斜角的2倍，则直线l的斜率为 ；

7.若为直线的倾斜角，则sin(2224)的取值范围是 ；

238.要使点A(2，cos2)，

B(sin2，－)，C(－4，－4)共线，则θ的值为

；

9、直线的斜率是kcos(R)的倾斜角的取值范围是 ；

10、已知A(－2，

3)，B(3，2)，过点P(0，－2)的直线l与线段AB没有公共点，则求直线ll的斜率的取值范围是

；

11、直线l经过点A(1，2)，且不过四象限，则直线的斜率k的范围是 ；

【诊断反思】

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